Введение

В математике операция — это функция, которая принимает ноль или более входных значений (также называемых «операндами» или «аргументами») и возвращает однозначно определенное выходное значение. Количество операндов называется аритностью операции. Наиболее часто изучаемыми операциями являются бинарные операции (то есть операции аритности 2), такие как сложение и умножение, и унарные операции (то есть операции аритности 1), такие как противоположный элемент и обратный элемент. Операция аритности ноль, или нульарная операция, является константой. Смешанное произведение является примером операции аритности 3, также называемой тернарной операцией. Обычно аритность считается конечной. Однако иногда рассматриваются бесконечноарные операции. Бинарные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Операции могут включать математические объекты, отличные от чисел. Логические значения «истина» и «ложь» могут быть объединены с помощью логических операций, таких как «и», «или» и «не». Векторы можно складывать и вычитать. Повороты можно комбинировать с помощью операции композиции функций, выполняя сначала первый поворот, а затем второй. Операции над множествами включают бинарные операции объединение и пересечение, а также унарную операцию дополнения. Операции над функциями включают композицию и свертку. Операции могут быть не определены для каждого возможного значения из их области определения. Например, в действительных числах нельзя делить на ноль или извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Значения, для которых операция определена, образуют множество, называемое областью определения или активной областью определения. Множество, содержащее полученные значения, называется кообластью, но множество фактически достигнутых операцией значений называется областью определения кообласти, активной кообластью, образом или областью значений. Например, в действительных числах операция возведения в квадрат производит только неотрицательные числа; кообластью является множество действительных чисел, но областью значений — неотрицательные числа. Операции могут включать различные объекты: вектор можно умножить на скаляр, чтобы получить другой вектор (операция, известная как скалярное умножение), а операция скалярного произведения двух векторов производит величину, являющуюся скаляром. Операция может обладать или не обладать определенными свойствами, например, она может быть ассоциативной, коммутативной, антикоммутативной, идемпотентной и так далее. Объединяемые значения называются операндами, аргументами или входами, а полученное значение называется значением, результатом или выходом. Операции могут иметь меньше или больше двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного числа входов, хотя это не всегда верно, как в случае скалярного произведения, где векторы умножаются и получается скаляр). N-арная операция ω: Xⁿ → X называется внутренней. N-арная операция ω: Xᵢ × S × Xⁿ⁻ⁱ⁻¹ → X, где 0 ≤ i < n, называется внешней операцией относительно скалярного множества или множества операторов S. В частности, для бинарной операции ω: S × X → X называется левой внешней операцией относительно S, а ω: X × S → X — правой внешней операцией относительно S. Примером внутренней операции является сложение векторов, где два вектора складываются и получается вектор. Примером внешней операции является скалярное умножение, где вектор умножается на скаляр и получается вектор. N-арная мультифункция или ω — это отображение из декартова произведения множества в множество подмножеств этого множества, формально.