Кіріспе

Актуарлық математиканың саласы. Актуарлық ғылымдағы сенімділік теориясы

Сенімділік теориясы – актуарлық математиканың тәуекелдік сыйлықақыны анықтаумен айналысатын саласы. Осы мақсатқа жету үшін, ол математикалық модельдерді пайдаланады, олар өткен бақылаулар негізінде сақтандыру талаптарының (күтілетін) санын болжауға бағытталған. Техникалық тұрғыдан алғанда, мәселе – Бейестік болжау тығыздығының орташасына ең жақсы сызықтық жуықтауды табу болып табылады, сондықтан сенімділік теориясы сызықтық сүзгілеумен және жалпы Бейес статистикасымен көптеген ортақ нәтижелерге ие. Мысалы, топтық денсаулық сақтануда сақтандырушы белгілі бір жұмыс беруші үшін келесі жылы тәуекелдік сыйлықақыны (яғни, теориялық күтілетін талаптар сомасын) есептеуге қызығушылық танытады. Сақтандырушы, әдетте, жалпы сақтандыру тәжірибесінің және осы жұмыс берушіге қатысты нақтырақ бағалауға ие болады. Жалпы сақтандыру тәжірибесіне (және жұмыс беруші тәжірибесіне кері шама) сенімділік коэффициентін тағайындау сақтандырушыға тәуекелдік сыйлықақының дәлірек бағасын келесідей алуға мүмкіндік береді:

Сенімділік коэффициенті бағалау қатесін азайтатын ең жоғары ықтималдық бағасын есептеу арқылы шығарылады. егер меншікті және бөлістің дисперсиясы белгілі шамалардың мәнін қабылдаса, онда тең болуы керек екені көрсетіледі:

Демек, бағалаудың белгісіздігі неғұрлым жоғары болса, оның сенімділігі соғұрлым төмен болады.

Сенімділіктің түрлері

Бейес сенімділігінде әр сыныпты (B) бөліп, оларға ықтималдық (B ықтималдығы) тағайындаймыз. Содан кейін, әр сынып ішінде біздің тәжірибеміздің (A) қаншалықты мүмкін екенін анықтаймыз (B берілген A ықтималдығы). Келесі қадамда, біздің тәжірибеміздің барлық сыныптар бойынша қаншалықты мүмкін екенін қарастырамыз (A ықтималдығы). Соңында, тәжірибемізге сүйене отырып, сыныбымыздың ықтималдығын есептей аламыз. Осылайша, әр сыныпқа оралып, әрбір статистикалық көрсеткішті тәжірибе негізіндегі сол сыныптың ықтималдығымен салмақтаймыз. Бюльманның сенімділігі халық арасындағы дисперсияны қарастыру арқылы жұмыс істейді. Нақтырақ айтқанда, жалпы дисперсияның қанша бөлігі әр сыныптың күтілетін мәндерінің дисперсиясына (гипотетикалық орташа дисперсиясы) және қанша бөлігі барлық сыныптар бойынша күтілетін дисперсияға (процесс дисперсиясының күтілетін мәні) тиесілі екенін анықтауға тырысады. Мысалы, бір ойында көп ұпай жинаған баскетбол командасы бар делік. Олар кейде 128, кейде 130 ұпай алады, бірақ әрқашан осы екі санның бірін. Барлық баскетбол командаларымен салыстырғанда, бұл салыстырмалы түрде төмен дисперсия, яғни олар процесс дисперсиясының күтілетін мәніне аз ғана үлес қосады. Сонымен қатар, олардың жоғары ұпайлары популяцияның дисперсиясын арттырады, яғни егер лига оларды шығарып жіберсе, әр команда үшін ұпайлардың болжамы жақсарады (дисперсия төмендейді). Демек, бұл команда сөзсіз ерекше (олар гипотетикалық орташа дисперсияға үлкен үлес қосады). Сондықтан біз осы команданың тәжірибесін жоғары сенімділікпен бағалай аламыз. Олар жиі/әрқашан көп ұпай алады (процесс дисперсиясының төмен күтілетін мәні) және олар сияқты көп ұпай алатын командалар көп емес (гипотетикалық орташа дисперсияның жоғары мөлшері).

Қарапайым мысал

Қорапта екі монета бар делік. Біреуі екі жағында да сырға (heads) ие, ал екіншісі – қалыпты монета, сырға немесе қақпаққа (tails) түсу ықтималдығы 50:50. Сіз кездейсоқ таңдалған монетаның нәтижесіне тікелей тікелей қоюыңыз керек. Сырға түсу ықтималдығы 0.5 * 1 + 0.5 * 0.5 = 0.75 тең. Себебі, тек сырға ғана ие монетаны таңдаудың 0.5 ықтималдығы бар, оның сырға түсу ықтималдығы 100%, ал әділ монетаны таңдаудың 0.5 ықтималдығы бар, оның сырға түсу ықтималдығы 50%. Енді сол монета қайта қолданылады және сізден нәтижеге тағы да тікелей тікелей қоюыңыз сұралады. Егер бірінші рет қақпақ түссе, сіз әділ монетамен жұмыс істеп жатырсыз деп 100% сенуге болады, сондықтан келесі рет сырға түсудің 50% және қақпаққа түсудің 50% ықтималдығы бар. Егер бірінші рет сырға түссе, таңдалған монетаның тек сырға ғана ие болуының шартты ықтималдығын және монетаның әділ болуының шартты ықтималдығын есептеуіміз керек, содан кейін келесі рет сырға түсуінің шартты ықтималдығын есептей аламыз. Бірінші рет сырға түскенін ескере отырып, тек сырға ғана ие монетадан түскен ықтималдық – бұл тек сырға ғана ие монетаны таңдау ықтималдығының сол монетаның сырға түсу ықтималдығына көбейтілгенінің, бірінші рет сырға түсу ықтималдығына бөлінгені, яғни 0.5 * 1 / 0.75 = 2/3. Бірінші рет сырға түскенін ескере отырып, әділ монетадан түскен ықтималдық – бұл әділ монетаны таңдау ықтималдығының сол монетаның сырға түсу ықтималдығына көбейтілгенінің, бірінші рет сырға түсу ықтималдығына бөлінгені, яғни 0.5 * 0.5 / 0.75 = 1/3. Соңында, бірінші рет сырға түскен жағдайда, келесі рет сырға түсуінің шартты ықтималдығы – бұл тек сырға ғана ие монетаның шартты ықтималдығының сол монетаның сырға түсу ықтималдығына көбейтілгенінің, әділ монетаның шартты ықтималдығының сол монетаның сырға түсу ықтималдығына көбейтілгенінің қосындысы, яғни 2/3 * 1 + 1/3 * 0.5 = 5/6 ≈ 0.8333.

Актуарлық сенім

Актуарлық сенімділік – статистикалық бағалауды жақсарту үшін актуарлар қолданатын тәсілді сипаттайды. Бұл тәсіл фреквентистік немесе байестік статистикалық ортада құрастырылуы мүмкін, бірақ соңғысы «үлгі алу» және «алдын ала» ақпарат арқылы бірнеше кездейсоқтық көзін анықтаудың қарапайымдылығы себепті көбінесе артықшылыққа ие. Типик жағдайда актуардың кішкентай деректер жиынтығына негізделген Х деген бағасы және үлкен, бірақ аз маңызды деректер жиынтығына негізделген М деген бағасы болады. Сенімділік бағасы ZX + (1-Z)M, мұнда Z – 0 мен 1 арасындағы сан («сенімділік салмағы» немесе «сенімділік коэффициенті» деп аталады), X-тің үлгі алу қатесін М-нің ықтимал маңыздылығының (демек, модельдеу қатесінің) әсеріне теңестіру үшін есептеледі. Сақтандыру компаниясы сыйлықақыны есептегенде, полис иелерін топтарға бөледі. Мысалы, ол автокөлік жүргізушілерін жас, жыныс және автокөліктің түрі бойынша бөлуі мүмкін; жылдам автокөлік жүргізетін жас жігіт жоғары тәуекелді, ал кішкентай автокөлік жүргізетін қарт әйел төмен тәуекелді деп есептеледі. Бөлу екі талапты теңестіре отырып жасалады: әр топтағы тәуекелдер жеткілікті түрде ұқсас болуы керек және топтың мөлшері жеткілікті үлкен болуы керек, сонда сыйлықақыны есептеу үшін талаптардың тәжірибесін мағыналы статистикалық талдаудан өткізуге болады. Бұл компромисс ешбір топта толықтай бірдей тәуекелдер болмайды дегенді білдіреді. Сонда мәселе – топтың тәжірибесін жеке тәуекелдің тәжірибесімен біріктіріп, сыйлықақыны дұрыс есептеудің жолын табу болады. Сенімділік теориясы осы мәселенің шешімін ұсынады. Актуарлар үшін сақтандыру шартының тобына сыйлықақыны есептеу үшін сенімділік теориясын білу маңызды. Мақсаты – келесі жылғы сыйлықақыны анықтау үшін тәжірибелік бағалау жүйесін құру, жеке топтың тәжірибесін ғана емес, сонымен қатар жиындық тәжірибені де ескеру. Екі шеткі жағдай бар. Біріншіден, барлығына бірдей сыйлықақы төлеу керек, ол деректердің жалпы орташасымен есептеледі. Бұл тек портфель біртекті болғанда ғана мағыналы, яғни барлық тәуекелдердің орташа талаптары бірдей. Алайда, егер портфель әртүрлі болса, осылайша сыйлықақыны есептеу дұрыс емес («жақсы» адамдарға артық төлеп, «жаман» тәуекелдерге аз төлеу), себебі «жақсы» тәуекелдер өз бизнесін басқа жерге көшіреді, сақтандырушы тек «жаман» тәуекелдермен қалады. Бұл кері таңдаудың мысалы. Екіншісі – топқа оның орташа талаптары бойынша сыйлықақы төлеу. Бұл әдістер портфель әртүрлі болғанда қолданылады, егер талаптардың тәжірибесі жеткілікті үлкен болса. Осы екі шеткі жағдайдың арасындағы компромисс үшін екі шеттің салмақталған орташасын аламыз: бұл жасушаның жеке тұлғасының қаншалықты «сенімді» (қабылдауға болатындығын) көрсетеді. Егер ол жоғары болса, онда үлкен салмақ беру үшін жоғары Z қолданылады, және бұл жағдайда Z – сенімділік коэффициенті деп аталады, ал мұндай төленген сыйлықақы – сенімділік сыйлықақысы деп аталады. Егер топ толығымен біртекті болса, онда Z=1 қою орынды болар еді, ал егер топ толығымен әртүрлі болса, онда Z=0 қою орынды болар еді. Аралық мәндерді қолдану жеке және топтық тарих болашақ жеке мінез-құлықты болжауда пайдалы болған жағдайда орынды. Мысалы, актуар аяқ киім фабрикасының апаттар мен жалақы туралы деректеріне ие, ол жалақының әр миллион долларына 3,1 апат болатынын көрсетеді. Оның қолында (барлық аяқ киім фабрикаларына негізделген) өнеркәсіптік статистикасы бар, ол миллион долларға 7,4 апат болатынын көрсетеді. 30% сенімділікпен ол фабрика үшін деңгейді 30% (3,1) + 70% (7,4) = 6,1 миллион долларға шаққандағы апаттар деп бағалайды.