Введение

Ветвь актуарной математики. Теория доверия в актуарной науке.

Теория доверия – это ветвь актуарной математики, занимающаяся определением страховых премий за риск. Для этого используются математические модели с целью прогнозирования (ожидаемого) количества страховых выплат на основе прошлых наблюдений. С технической точки зрения, задача состоит в нахождении наилучшего линейного приближения к среднему значению баесовской предсказательной плотности, что объясняет общие результаты теории доверия с линейной фильтрацией и баесовской статистикой в целом. Например, в групповом медицинском страховании страховщик заинтересован в расчете премии за риск, *p* (то есть теоретической ожидаемой суммы выплат), для конкретного работодателя в следующем году. Страховщик, вероятно, располагает оценкой общего исторического опыта по выплатам, *G*, а также более точной оценкой для данного работодателя, *X*. Назначение коэффициента доверия, *z*, общему опыту по выплатам (и величины, обратной опыту работодателя), позволяет страховщику получить более точную оценку премии за риск следующим образом:

Коэффициент доверия выводится путем расчета оценки максимального правдоподобия, которая минимизирует ошибку оценки. Предполагая, что дисперсии *G* и *X* являются известными величинами, принимающими значения *σ²* и *τ²* соответственно, можно показать, что *z* должно быть равно:

Следовательно, чем больше неопределенность в оценке, тем ниже ее доверие.

Виды доверия

В байесовской достоверности мы разделяем каждый класс (B) и присваиваем ему вероятность (вероятность B). Затем мы определяем, насколько вероятен наш опыт (A) в каждом классе (вероятность A при условии B). Далее мы вычисляем вероятность нашего опыта для всех классов (вероятность A). Наконец, мы можем найти вероятность класса, учитывая наш опыт. Таким образом, возвращаясь к каждому классу, мы взвешиваем каждую статистику вероятностью конкретного класса, учитывая полученный опыт. Достоверность Бюльманна работает, анализируя дисперсию в популяции. Более конкретно, он оценивает, какая часть общей дисперсии приходится на дисперсию ожидаемых значений каждого класса (дисперсия гипотетического среднего), а какая – на ожидаемую дисперсию по всем классам (ожидаемое значение дисперсии процесса). Представим, что у нас есть баскетбольная команда, набирающая много очков за игру. Иногда они набирают 128, иногда 130, но всегда одно из этих двух значений. По сравнению со всеми баскетбольными командами это относительно низкая дисперсия, что означает, что они вносят очень небольшой вклад в ожидаемое значение дисперсии процесса. Кроме того, их необычно высокий средний показатель значительно увеличивает дисперсию в популяции, что означает, что если бы их исключили из лиги, общий показатель каждой команды был бы гораздо более предсказуемым (дисперсия была бы ниже). Следовательно, эта команда определенно уникальна (они в значительной степени влияют на дисперсию гипотетического среднего). Поэтому мы можем оценить опыт этой команды с довольно высокой достоверностью. Они часто/всегда набирают много очков (низкое ожидаемое значение дисперсии процесса) и мало команд набирают столько же, сколько они (высокая дисперсия гипотетического среднего).

Простой пример

Предположим, в коробке две монеты. Одна имеет орла с обеих сторон, а другая – обычная монета с вероятностью 50:50 выпадения орла или решки. Вам нужно сделать ставку на результат после случайного выбора одной из монет и её подбрасывания. Вероятность выпадения орла равна .5 * 1 + .5 * .5 = .75. Это объясняется тем, что есть вероятность 0.5 выбрать монету с орлом с обеих сторон (с 100% вероятностью выпадения орла) и вероятность 0.5 выбрать обычную монету (с 50% вероятностью выпадения орла). Теперь ту же монету используют повторно, и вас просят снова сделать ставку на результат. Если первый бросок был решкой, то вероятность 100%, что вы имеете дело с обычной монетой, поэтому следующий бросок имеет 50% вероятность выпадения орла и 50% вероятность выпадения решки. Если первый бросок был орлом, необходимо вычислить условную вероятность того, что выбранная монета – монета с орлом с обеих сторон, а также условную вероятность того, что монета – обычная, после чего можно вычислить условную вероятность выпадения орла при следующем броске. Вероятность того, что монета была с орлом с обеих сторон, при условии, что первый бросок был орлом, равна вероятности выбора монеты с орлом с обеих сторон, умноженной на вероятность выпадения орла на этой монете, деленной на начальную вероятность выпадения орла при первом броске, то есть .5 * 1 / .75 = 2/3. Вероятность того, что монета была обычной, при условии, что первый бросок был орлом, равна вероятности выбора обычной монеты, умноженной на вероятность выпадения орла на этой монете, деленной на начальную вероятность выпадения орла при первом броске, то есть .5 * .5 / .75 = 1/3. Наконец, условная вероятность выпадения орла при следующем броске, при условии, что первый бросок был орлом, равна условной вероятности выбора монеты с орлом с обеих сторон, умноженной на вероятность выпадения орла на монете с орлом с обеих сторон, плюс условная вероятность выбора обычной монеты, умноженная на вероятность выпадения орла на обычной монете, то есть 2/3 * 1 + 1/3 * .5 = 5/6 ≈ .8333.

Актуарная достоверность

Актуарная достоверность описывает подход, используемый актуариями для улучшения статистических оценок. Хотя этот подход может быть сформулирован как в рамках частотной, так и в рамках байесовской статистической модели, последняя часто предпочтительнее благодаря простоте учета нескольких источников случайности как через информацию, полученную в результате "выборки", так и через "априорные" данные. В типичном случае актуарий располагает оценкой X, основанной на небольшом объеме данных, и оценкой M, основанной на большем, но менее релевантном объеме данных. Оценка достоверности составляет ZX + (1 – Z)M, где Z – число от 0 до 1 (называемое "весом достоверности" или "фактором достоверности"), рассчитанное для баланса между ошибкой выборки X и возможной нерелевантностью (и, следовательно, ошибкой моделирования) M.

Когда страховая компания рассчитывает размер премии, она делит страхователей на группы. Например, автомобилистов можно разделить по возрасту, полу и типу автомобиля: молодой мужчина, управляющий быстрым автомобилем, считается высокорискованным, а пожилая женщина, управляющая малолитражным автомобилем, – низкорискованным. Такое разделение производится с учетом двух требований: риски в каждой группе должны быть достаточно однородными, а группа должна быть достаточно большой для проведения содержательного статистического анализа опыта урегулирования убытков с целью расчета премии. Этот компромисс означает, что ни одна из групп не состоит исключительно из идентичных рисков. Затем возникает задача найти способ комбинирования опыта группы с опытом индивидуального риска для более точного расчета премии. Теория достоверности предлагает решение этой задачи. Актуариям важно знать теорию достоверности для расчета премии по группе страховых договоров. Цель состоит в создании системы оценки опыта для определения премии на следующий год, учитывающей не только индивидуальный опыт в рамках группы, но и коллективный опыт. Существуют две крайности. Первая – взимать с каждого одинаковую премию, рассчитанную на основе общей средней величины данных. Это имеет смысл только в том случае, если портфель однороден, то есть все группы риска имеют одинаковые средние требования. Однако, если портфель неоднороден, нецелесообразно взимать премию таким образом (переплачивая "хорошим" клиентам и недоплачивая "плохим"), поскольку "хорошие" риски обратятся к другим страховщикам, оставив страховщику только "плохие" риски. Это пример неблагоприятного отбора. Другой подход – взимать с группы ее собственные средние требования в качестве премии, уплачиваемой застрахованным. Эти методы используются, если портфель неоднороден, при условии наличия достаточно большого опыта урегулирования убытков. Чтобы найти компромисс между этими двумя крайностями, мы берем средневзвешенное значение двух предельных значений:

имеет следующее интуитивное значение: оно выражает степень "достоверности" (приемлемости) индивидуального риска в данной группе. Если оно высокое, то следует использовать более высокое Z, чтобы придать больший вес расчету премии на основе индивидуального опыта, и в этом случае Z называется фактором достоверности, а рассчитанная таким образом премия – премией достоверности. Если группа была бы полностью однородной, то было бы разумно установить Z = 1, а если группа была бы полностью неоднородной, то было бы разумно установить Z = 0. Использование промежуточных значений Z оправдано в той мере, в которой как индивидуальная, так и групповая история полезны для прогнозирования будущего поведения индивидуального риска. Например, актуарий располагает историческими данными о несчастных случаях и заработной плате обувной фабрики, которые указывают на уровень 3,1 несчастного случая на миллион долларов заработной платы. У нее также есть отраслевая статистика (на основе всех обувных фабрик), которая указывает на уровень 7,4 несчастного случая на миллион долларов. При достоверности Z, равной 30%, она оценит уровень для данной фабрики как 30% (от 3,1) + 70% (от 7,4) = 6,1 несчастного случая на миллион долларов.