Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Геометрияда кіші кубикубоктаэдр - U13 индексімен белгіленетін біртекті жұлдызды көпжақ. Оның 20 жағы бар (8 үшбұрыш, 6 төртбұрыш және 6 сегізбұрыш), 48 қабырғасы мен 24 төбесі бар. Оның төбелік фигурасы қиылысқан төртбұрыш. Кіші кубикубоктаэдр - ромбикубоктаэдрдің жағын бөліп көрсетуі. Оның төртбұрышты жақтары кубтың жақтарына, ал үшбұрышты жақтары октаэдрдің жақтарына параллель: сондықтан оны кубикубоктаэдр деп атайды. "Кіші" деген қосымша оны сол бағытта жақтары бар үлкен кубикубоктаэдрден ажыратуға көмектеседі.
In geometry, the small cubicuboctahedron is a uniform star polyhedron, indexed as U13. It has 20 faces (8 triangles, 6 squares, and 6 octagons), 48 edges, and 24 vertices. Its vertex figure is a crossed quadrilateral. The small cubicuboctahedron is a faceting of the rhombicuboctahedron. Its square faces and its octagonal faces are parallel to those of a cube, while its triangular faces are parallel to those of an octahedron: hence the name cubicuboctahedron. The small suffix serves to distinguish it from the great cubicuboctahedron, which also has faces in the aforementioned directions.
Қатынасты тайыздар
Эйлер сипаты көрсеткендей, кіші кубикубоктаэдр – 3-жігіттің тороидты полиэдрі (топологиялық тұрғыдан ол 3-жігіттің беті), сондықтан оны 3-кеңістікте, оның 24 төбесінің толықтығында, 3-жігіттің полиэдрлі бетінің (полиэдрлік) суға батуы ретінде қарастыруға болады. (Кез келген төбенің маңы топологиялық тұрғыдан 8-санды конусқа ұқсайды, мұндай жағдай суға бату кезінде туындамайды. Рихтер сілтемесі бұл фактіні ескермейді.) Негізгі полиэдр (өздік қиылыстарды ескермей) осы беттің біркелкі жабылуын анықтайды, сондықтан кіші кубикубоктаэдр – біркелкі полиэдр. Абстрактілі политоптар тілінде кіші кубикубоктаэдр – бұл абстрактілі тороидты полиэдрдің адал жүзеге асырылуы, яғни ол дегенерацияланбаған полиэдр және олардың симметрия тобы бірдей. Шын мәнінде, осы жабылумен абстрактілі 3-жігіттің кез келген автоморфизмі Евклид кеңістігінің изометриясы арқылы жүзеге асырылады. Жоғары жігіттің беттері (2 немесе одан жоғары жігіттің) теріс тұрақты қисықтық метрикасын қабылдайды (біркелкілендіру теоремасы бойынша), ал нәтижедегі Риман бетінің жапқышы гиперболалық жазықтық болып табылады. Гиперболалық жазықтықтың сәйкес жабылуы 3.8.4.8 төбелік фигурасына ие (үшбұрыш, сегізбұрыш, төртбұрыш, сегізбұрыш). Егер бетке −1 қисықтығы бар тиісті метрика берілсе, жапқыш картасы жергілікті изометрия болады, сондықтан абстрактілі төбелік фигура бірдей. Бұл жабылу Wythoff символымен 3 4 | 4 деп белгіленеді және оң жақта көрсетілген. [[Файл:7 рет үшбұрышты жабылу.svg|thumb|Кіші кубикубоктаэдрді Клейн квартикасының полиэдрлік суға батуы (түсі) ретінде де қарастыруға болады. Бұл тұрақты жабылу Клейн квартикасының жабылуы болғандықтан маңызды, бұл 3-жігіттің ең симметриялық метрикасы (осы жабылудың автоморфизмдері беттің изометрияларына тең), ал осы беттің бағдарды сақтаушы автоморфизм тобы проективті арнайы сызықтық топқа изоморфты, яғни PSL(2,7), эквивалентті түрде GL(3,2) (барлық бағдарды сақтаушы изометриялардың 168-тобы). Кіші кубикубоктаэдр осы абстрактілі полиэдрдің жүзеге асырылуы емес екенін ескеріңіз, өйткені оның тек 24 бағдарлы симметриясы бар (әр абстрактілі автоморфизм Евклидтік изометрия арқылы жүзеге асырылмайды) – кіші кубикубоктаэдрдің изометриялары үшбұрышты жабылуды ғана емес, сонымен қатар түсін де сақтайды, сондықтан толық изометрия тобының дұрыс кіші тобы болып табылады. Гиперболалық жазықтықтың (жапқыш) сәйкес жабылуы 7 реттік үшбұрышты жабылу болып табылады. Клейн квартикасының автоморфизм тобын (полиэдрдің симметриясымен жүзеге асырылмаған симметрия арқылы, атап айтқанда, квадраттар мен октаэдрлерді екіге бөлетін қабырғалардың екі ұшын алмастыру арқылы) кеңейтуге болады, нәтижесінде Матье тобы M24 пайда болады.
As the Euler characteristic suggests, the small cubicuboctahedron is a toroidal polyhedron of genus 3 (topologically it is a surface of genus 3), and thus can be interpreted as a (polyhedral) immersion of a genus 3 polyhedral surface, in the complement of its 24 vertices, into 3 space. (A neighborhood of any vertex is topologically a cone on a figure 8, which cannot occur in an immersion. Note that the Richter reference overlooks this fact.) The underlying polyhedron (ignoring self intersections) defines a uniform tiling of this surface, and so the small cubicuboctahedron is a uniform polyhedron. In the language of abstract polytopes, the small cubicuboctahedron is a faithful realization of this abstract toroidal polyhedron, meaning that it is a nondegenerate polyhedron and that they have the same symmetry group. In fact, every automorphism of the abstract genus 3 surface with this tiling is realized by an isometry of Euclidean space. Higher genus surfaces (genus 2 or greater) admit a metric of negative constant curvature (by the uniformization theorem), and the universal cover of the resulting Riemann surface is the hyperbolic plane. The corresponding tiling of the hyperbolic plane has vertex figure 3.8.4.8 (triangle, octagon, square, octagon). If the surface is given the appropriate metric of curvature = −1, the covering map is a local isometry and thus the abstract vertex figure is the same. This tiling may be denoted by the Wythoff symbol 3 4 | 4, and is depicted on the right. [[File:Order 7 triangular tiling. svg|thumb|The small cubicuboctahedron can also be interpreted as a polyhedral immersion (a coloring of) the Klein quartic, This regular tiling is significant as it is a tiling of the Klein quartic, the genus 3 surface with the most symmetric metric (automorphisms of this tiling equal isometries of the surface), and the orientation preseserving automorphism group of this surface is isomorphic to the projective special linear group PSL(2,7), equivalently GL(3,2) (the order 168 group of all orientation preserving isometries). Note that the small cubicuboctahedron is not a realization of this abstract polyhedron, as it only has 24 orientation preserving symmetries (not every abstract automorphism is realized by a Euclidean isometry) – the isometries of the small cubicuboctahedron preserve not only the triangular tiling, but also the coloring, and hence are a proper subgroup of the full isometry group. The corresponding tiling of the hyperbolic plane (the universal covering) is the order 7 triangular tiling. The automorphism group of the Klein quartic can be augmented (by a symmetry which is not realized by a symmetry of the polyhedron, namely "exchanging the two endpoints of the edges that bisect the squares and octahedra) to yield the Mathieu group M24.