Введение

В геометрии малый кубикубооктаэдр — это однородный звездный многогранник, индексированный как U13. Он имеет 20 граней (8 треугольников, 6 квадратов и 6 восьмиугольников), 48 ребер и 24 вершины. Его вершинная фигура — перекрещенный четырехугольник. Малый кубикубооктаэдр является фасетом ромбикубооктаэдра. Его квадратные и восьмиугольные грани параллельны граням куба, а треугольные — граням октаэдра, отсюда и название кубикубооктаэдр. Приставка "малый" используется для его отличия от большого кубикубооктаэдра, который также имеет грани, ориентированные в указанных направлениях.

Сопутствующие плитки

Как предполагает характеристика Эйлера, маленький кубикубоктаэдр является тороидальным полиэдром рода 3 (топологически это поверхность рода 3), и, таким образом, может быть интерпретирован как (полиэдрическое) погружение полиэдрической поверхности рода 3 в дополнение к его 24 вершинам в трехмерном пространстве. (Окрестность любой вершины топологически представляет собой конус над фигурой, напоминающей восьмерку, что невозможно при погружении. Обратите внимание, что в работе Рихтера этот факт упущен из виду.) Основной полиэдр (при игнорировании самопересечений) определяет однородную мозаику этой поверхности, и поэтому маленький кубикубоктаэдр является однородным полиэдром. На языке абстрактных политопов, маленький кубикубоктаэдр является точной реализацией этого абстрактного тороидального полиэдра, что означает, что это невырожденный полиэдр и что они имеют одну и ту же группу симметрии. Фактически, каждый автоморфизм абстрактной поверхности рода 3 с этой мозаикой реализуется изометрией евклидова пространства. Поверхности более высокого рода (рода 2 и выше) допускают метрику с постоянной отрицательной кривизной (согласно теореме об униформизации), а универсальным покрытием полученной поверхности Римана является гиперболическая плоскость. Соответствующая мозаика гиперболической плоскости имеет фигуру вершины 3.8.4.8 (треугольник, восьмиугольник, квадрат, восьмиугольник). Если поверхности задана соответствующая метрика с кривизной = −1, то отображение покрытия является локальной изометрией, и, следовательно, абстрактная фигура вершины остается неизменной. Эту мозаику можно обозначить символом Уайтхоффа 3 4 | 4 и она изображена справа. [[Файл:Порядок 7 треугольная плитка.svg|thumb|Маленький кубикубоктаэдр также можно интерпретировать как полиэдрическое погружение (раскраску) квартика Кляйна. Эта регулярная мозаика важна, поскольку она представляет собой мозаику квартика Кляйна – поверхности рода 3 с наиболее симметричной метрикой (автоморфизмы этой мозаики равны изометриям поверхности), а группа автоморфизмов, сохраняющих ориентацию этой поверхности, изоморфна проективной специальной линейной группе PSL(2,7), что эквивалентно GL(3,2) (группе порядка 168, состоящей из всех изометрий, сохраняющих ориентацию). Обратите внимание, что маленький кубикубоктаэдр не является реализацией этого абстрактного полиэдра, поскольку он имеет только 24 симметрии, сохраняющие ориентацию (не каждый абстрактный автоморфизм реализуется евклидовой изометрией) – изометрии маленького кубикубоктаэдра сохраняют не только треугольную мозаику, но и раскраску, и, следовательно, являются собственной подгруппой полной группы изометрий. Соответствующая мозаика гиперболической плоскости (универсальное покрытие) является треугольной мозаикой порядка 7. Группа автоморфизмов квартика Кляйна может быть расширена (симметрией, которая не реализуется симметрией полиэдра, а именно «обменом двух конечных точек ребер, которые делят квадраты и октаэдры пополам»), чтобы получить группу Матье M24.