Кіріспе
Геометриялық жазықтықтағы нүктелер жиынтығы сияқты шеңбер. Проективті геометрияда овал – жазықтықтағы нүктелер жиынтығы, инциденттік қасиеттерімен анықталады. Стандартты мысалдар – дегенерацияланбаған коникалар. Дегенмен, коника тек паппиан жазықтығында ғана анықталады, ал овал проективті жазықтықтың кез келген түрінде болуы мүмкін. Әдебиетте овалдың коника екенін көрсететін көптеген критерийлер бар, бірақ коника емес, паппиан жазықтықтарындағы овалдардың көптеген шексіз және шекті мысалдары бар. Айтылғандай, проективті геометрияда овал инциденттік қасиеттерімен анықталады, бірақ басқа салаларда овалдар басқа критерийлерді қанағаттандыру үшін анықталуы мүмкін, мысалы, дифференциалдық геометрияда нақты жазықтықтағы туындылану шарттарымен. Овалдың жоғары өлшемді аналогы – проективті кеңістіктегі оvoid. Овал ұғымын жалпылау – абстрактілік овал, ол проективті жазықтықта міндетті түрде орналаспайтын құрылым. Шындығында, ешқандай проективті жазықтықта жатпайтын абстрактілік овалдар бар.
In projective geometry an oval is a point set in a plane that is defined by incidence properties. The standard examples are the nondegenerate conics. However, a conic is only defined in a pappian plane, whereas an oval may exist in any type of projective plane. In the literature, there are many criteria which imply that an oval is a conic, but there are many examples, both infinite and finite, of ovals in pappian planes which are not conics. As mentioned, in projective geometry an oval is defined by incidence properties, but in other areas, ovals may be defined to satisfy other criteria, for instance, in differential geometry by differentiability conditions in the real plane. The higher dimensional analog of an oval is an ovoid in a projective space. A generalization of the oval concept is an abstract oval, which is a structure that is not necessarily embedded in a projective plane. Indeed, there exist abstract ovals which can not lie in any projective plane.
Аяқталған жазықтықтағы овалдар бойынша қосымша нәтижелер
Q реттік шекті проективті жазықтықтағы овал – (q + 1, 2) доғасы, яғни q + 1 нүктеден тұратын жиын, мұнда үш нүкте бір түзу бойында жатпайды. Десаргезиандық (паппиандық) проективті жазықтықтағы PG(2, q) үшін, q тақ болғанда, овалдар тек сингуляр емес коникалар болып табылады. Дегенмен, PG(2, q) үшін, q жұп болғанда, овалдар жіктелмеген күйде қалады. Q тақ реттік кез келген шекті проективті жазықтықта, үш нүктесі бір түзу бойында жатпайтын q + 1-ден артық нүктелі жиынтықтар жоқ, бұл алғаш рет 1947 жылы Бозе жариялаған мақаласында көрсетілген, онда осы математиканың тәжірибелердің статистикалық жобалауға қолданылуы қарастырылған. Сонымен қатар, Квист теоремасы бойынша, овалға тиісті емес кез келген нүкте арқылы осы овалдың нөл немесе екі жанама түзу өтеді. Q жұп болғанда, жағдай мүлдем өзгеше. Бұл жағдайда, үш нүктесі бір түзу бойында жатпайтын q + 2 нүктелі жиынтықтар q реттік шекті проективті жазықтықта болуы мүмкін және олар гиперовалдар деп аталады; бұл 2-дәрежелі максималды доғалар. Овал берілгенде, әр нүкте арқылы бірегей жанама түзу өтеді, ал q жұп болса, онда Квист теоремасы осы жанама түзулердің барлығы овалдан тыс P нүктесінде түйіседіін көрсетеді. Бұл нүкте (овалдың ядросы немесе кейде түйін) овалға қосылғанда гиперовал пайда болады. Керісінше, гиперовалдан кез келген нүкте алынса, бірден овал пайда болады. Жұп реттік жағдайдағы барлық овалдар гиперовалдардың ішінде орналасқандықтан, (белгілі) гиперовалдардың сипаттамасы барлық (белгілі) овалдарды анықтайды. Гиперовалдан нүкте алып тастау арқылы алынған овалдар проективті түрде эквивалентті болады, егер алынған нүктелер гиперовалдың автоморфизм тобының бірдей орбитасында болса және керісінше. Гиперовалдың автоморфизм тобы оның нүктелерінде транзитивті болатын үш ғана кішкентай мысал бар (Десаргезиан жазықтықтарында), сондықтан, әдетте, бір гиперовалдың ішінде әртүрлі типтегі овалдар болады.
Qvist's theorem, through any point not on an oval there pass either zero or two tangent lines of that oval. When q is even, the situation is completely different. In this case, sets of q + 2 points, no three of which collinear, may exist in a finite projective plane of order q and they are called hyperovals; these are maximal arcs of degree 2. Given an oval there is a unique tangent through each point, and if q is even then Qvist's theorem shows that all these tangents are concurrent in a point P outside the oval. Adding this point (called the nucleus of the oval or sometimes the knot) to the oval gives a hyperoval. Conversely, removing any one point from a hyperoval immediately gives an oval. As all ovals in the even order case are contained in hyperovals, a description of the (known) hyperovals implicitly gives all (known) ovals. The ovals obtained by removing a point from a hyperoval are projectively equivalent if and only if the removed points are in the same orbit of the automorphism group of the hyperoval. There are only three small examples (in the Desarguesian planes) where the automorphism group of the hyperoval is transitive on its points so, in general, there are different types of ovals contained in a single hyperoval.
Десаргезиандық іс: PG ((2,2h)
Бұл ең көп зерттелген жағдай, сондықтан осы гиперовальдар туралы ең көп мәлімет белгілі. Проективті жазықтықтағы әрбір ерекше емес коника өз ядросымен бірге гиперовал құрайды. Бұларды гиперконикалар деп атауға болады, бірақ дәстүрлі термин – реттелген гиперовальдар. Осы жиынтықтардың әрқайсысы үшін координаттар жүйесі бар, онда жиынтық мынадай болады:
Дегенмен, егер q > 8 болса, PG(2, q) гиперовалдарының көптеген басқа түрлерін табуға болады. PG(2, q) гиперовалдары q жұп болғанда, қазіргі уақытқа дейін тек q < 64 үшін ғана жіктелген. PG(2, 2h) жағдайында, h > 0 болса, гиперовал кем дегенде төрт нүктеден тұрады, олардың үш еуі бір түзуде жатпайды. Осылайша, проективті геометрияның негізгі теоремасы бойынша, біз (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) және (1,1,1) проективті координаттары бар нүктелердің кез келген гиперовалға кіретінін қабылдай аламыз. Гиперовалдың қалған нүктелері (h > 1 болғанда) (t, f(t), 1) түрінде болады, мұнда t – GF(2h) шекті өрісінің мәндері арқылы өтеді, ал f – сол өрістегі функция, ол бір өзгерісті білдіреді және ең көп дегенде 2h – 2 дәрежелі полином ретінде бірегей түрде беріледі, яғни ол бір өзгерісті полином болып табылады. f(0) = 0 және f(1) = 1 екеніне назар аударыңыз, бұл көрсетілген нүктелерді қосу туралы болжаммен шартталған. f-қа қатысты басқа шектеулер үш нүктенің бір түзуде жатпауы шартымен байланысты. Осылайша, гиперовалды құратын f функциясы «о полином» деп аталады. Төмендегі кесте PG(2, 2h) гиперовалдарының барлық белгілі жағдайларын (2011 жылғы мәлімет бойынша) о полином және h мәніне қатысты қажетті шектеулер арқылы тізімдейді, осы функцияның о полином болуы үшін. Барлық көрсеткіштерді 2h – 1 модулі бойынша алу керек.
PG(2,2h) by giving the o polynomial and any restrictions on the value of h that are necessary for the displayed function to be an o polynomial. Note that all exponents are to be taken
mod(2h 1).
Гиперовальдар PG ((2, q), q жұп, q ≤ 64
2, 4 және 8 реттік Десаргезиандық жазықтықтардағы гиперовальдардың барлығы гиперконикалар болғандықтан, біз тек 16, 32 және 64 реттік жазықтықтарды қарастырамыз.