Введение
Круг как множество точек в геометрической плоскости
В проективной геометрии овал — это множество точек в плоскости, определяемое свойствами инцидентности. Стандартными примерами являются невырожденные коники. Однако коника определяется только в паппианской плоскости, в то время как овал может существовать в любом типе проективной плоскости. В литературе существует множество критериев, которые позволяют заключить, что овал является коникой, но существует множество примеров, как бесконечных, так и конечных, овалов в паппианских плоскостях, которые не являются кониками. Как уже упоминалось, в проективной геометрии овал определяется свойствами инцидентности, но в других областях овалы могут определяться с использованием других критериев, например, в дифференциальной геометрии — условиями дифференцируемости в вещественной плоскости. Аналогом овала в пространстве более высокой размерности является оvoid в проективном пространстве. Обобщением понятия овала является абстрактный овал — структура, которая не обязательно вложена в проективную плоскость. Действительно, существуют абстрактные овалы, которые не могут лежать ни в какой проективной плоскости.
Дополнительные результаты по овалам в конечных плоскостях
Овал в конечной проективной плоскости порядка q является (q + 1, 2)-дугой, другими словами, множеством q + 1 точек, не три из которых коллинеарны. Овалы в дезаргезианской (паппианской) проективной плоскости PG(2, q) для нечётных q – это просто невырожденные коники. Однако овалы в PG(2, q) для чётных q ещё не классифицированы. В произвольной конечной проективной плоскости нечётного порядка q не существует множеств с более чем q + 1 точками, не три из которых коллинеарны, как впервые указал Бозе в статье 1947 года о применении подобной математики к статистическому планированию экспериментов. Кроме того, по теореме Квиста, через любую точку, не лежащую на овале, проходят либо ноль, либо две касательные к этому овалу. Когда q чётно, ситуация совершенно иная. В этом случае множества q + 2 точек, не три из которых коллинеарны, могут существовать в конечной проективной плоскости порядка q и называются гиперовалами; это максимальные дуги второй степени. Для заданного овала через каждую точку проходит единственная касательная, и если q чётно, то теорема Квиста показывает, что все эти касательные пересекаются в точке P, лежащей вне овала. Добавление этой точки (называемой ядром овала или иногда узлом) к овалу даёт гипероваль. И наоборот, удаление любой точки из гипероваля сразу даёт овал. Поскольку все овалы в случае чётного порядка содержатся в гиперовалях, описание (известных) гиперовалей неявно даёт все (известные) овалы. Овалы, полученные удалением точки из гипероваля, проективно эквивалентны тогда и только тогда, когда удалённые точки находятся на одной орбите группы автоморфизмов гипероваля. Существует только три небольших примера (в дезаргезианских плоскостях), где группа автоморфизмов гипероваля транзитивна относительно своих точек, поэтому, как правило, в одном гиперовале содержатся овалы разных типов.
Qvist's theorem, through any point not on an oval there pass either zero or two tangent lines of that oval. When q is even, the situation is completely different. In this case, sets of q + 2 points, no three of which collinear, may exist in a finite projective plane of order q and they are called hyperovals; these are maximal arcs of degree 2. Given an oval there is a unique tangent through each point, and if q is even then Qvist's theorem shows that all these tangents are concurrent in a point P outside the oval. Adding this point (called the nucleus of the oval or sometimes the knot) to the oval gives a hyperoval. Conversely, removing any one point from a hyperoval immediately gives an oval. As all ovals in the even order case are contained in hyperovals, a description of the (known) hyperovals implicitly gives all (known) ovals. The ovals obtained by removing a point from a hyperoval are projectively equivalent if and only if the removed points are in the same orbit of the automorphism group of the hyperoval. There are only three small examples (in the Desarguesian planes) where the automorphism group of the hyperoval is transitive on its points so, in general, there are different types of ovals contained in a single hyperoval.
Дело Десаргеса: PG ((2,2h)
Это наиболее изученный случай, поэтому о этих гиперовалах известно больше всего. Любая невырожденная коника в проективной плоскости вместе со своим ядром образует гипеовал. Их можно называть гиперкониками, но более традиционным термином является регулярный гипеовал. Для каждого из этих множеств существует система координат, такая что множество:
Однако, если q > 8, можно найти множество других типов гипеовалов PG(2, q). Гипеовалы PG(2, q) для четных q были классифицированы только для q < 64 на сегодняшний день. В PG(2, 2h), где h > 0, гипеовал содержит по крайней мере четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Таким образом, согласно Основной теореме проективной геометрии, мы всегда можем предположить, что точки с проективными координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) и (1, 1, 1) содержатся в любом гипеовале. Остальные точки гипеовала (при h > 1) будут иметь вид (t, f(t), 1), где t принимает значения из конечного поля GF(2h), а f — функция на этом поле, представляющая собой перестановку и однозначно выражаемая как многочлен степени не выше 2h – 2, то есть это перестановочный многочлен. Обратите внимание, что f(0) = 0 и f(1) = 1 обусловлены предположением о включении указанных точек. Другие ограничения на f обусловлены условием, что никакие три точки не коллинеарны. Функция f, которая таким образом порождает гипеовал, называется o-полиномом. В следующей таблице перечислены все известные (по состоянию на 2011 год) гипеовалы PG(2, 2h) с указанием o-полинома и любых ограничений на значение h, необходимых для того, чтобы отображаемая функция была o-полиномом. Обратите внимание, что все показатели следует брать по модулю (2h – 1).
PG(2,2h) by giving the o polynomial and any restrictions on the value of h that are necessary for the displayed function to be an o polynomial. Note that all exponents are to be taken
mod(2h 1).
Гиперовалы в PG ((2, q), q четные, q ≤ 64
Поскольку гиперовалы в десаргезианских плоскостях порядков 2, 4 и 8 все являются гиперконическими, мы рассмотрим только плоскости порядков 16, 32 и 64.