Кіріспе
Өз өрісінде интегралданатын функция. Математикада, жергілікті интегралданатын функция (кейде жергілікті қосындыланатын функция деп те аталады) – өзінің анықталу өрісінің кез келген тығыз жиынтығында интегралданатын (яғни, интегралы шекті) функция. Мұндай функциялардың маңыздылығы олардың функциялық кеңістігінің L^(p) кеңістіктеріне ұқсас болуында, бірақ оның элементтері доменінің шекарасындағы (домен шексіз болса, шексіздіктегі) өсуіне ешқандай шектеу қойылмайды: яғни, жергілікті интегралданатын функциялар домен шекарасында кез келген жылдамдықпен өсе алады, бірақ бәрібір қалыпты интегралданатын функциялар сияқты басқарылатын болады.
In mathematics, a locally integrable function (sometimes also called locally summable function) is a function which is integrable (so its integral is finite) on every compact subset of its domain of definition. The importance of such functions lies in the fact that their function space is similar to L^(p) spaces, but its members are not required to satisfy any growth restriction on their behavior at the boundary of their domain (at infinity if the domain is unbounded): in other words, locally integrable functions can grow arbitrarily fast at the domain boundary, but are still manageable in a way similar to ordinary integrable functions.
Стандартты анықтама
. Ω Евклид кеңістігіндегі ашық жиын болсын және f: Ω → Лебег өлшенетін функция болсын. Егер f функциясы Ω-да, яғни оның Лебег интегралы Ω-ның барлық компактты K жиынтықтарында шекті болса, онда f жергілікті интегралданғыш деп аталады. Мұндай функциялардың барлық жиынтығы L1,loc(Ω) деп белгіленеді:
i. e. its Lebesgue integral is finite on all compact subsets K of Ω, then f is called locally integrable. The set of all such functions is denoted by L1,loc(Ω):
where denotes the restriction of f to the set K.
The classical definition of a locally integrable function involves only measure theoretic and topological concepts and can be carried over abstract to complex valued functions on a topological measure space (X, Σ, μ): however, since the most common application of such functions is to distribution theory on Euclidean spaces, Let Ω be an open set in the Euclidean space Then a function f : Ω → such that
for each test function is called locally integrable, and the set of such functions is denoted by L1,loc(Ω). Here denotes the set of all infinitely differentiable functions φ : Ω → with compact support contained in Ω. This definition has its roots in the approach to measure and integration theory based on the concept of continuous linear functional on a topological vector space, developed by the Nicolas Bourbaki school: it is also the one adopted by and by This "distribution theoretic" definition is equivalent to the standard one, as the following lemma proves:
A given function f : Ω → is locally integrable according to if and only if it is locally integrable according to , i. e.
мұнда f-тің K жиынтығына шектеуін білдіреді. Жергілікті интегралданғыш функцияның классикалық анықтамасы тек өлшемдік және топологиялық ұғымдарды қамтиды және топологиялық өлшем кеңістігіндегі (X, Σ, μ) комплекс санды функцияларға абстрактілі түрде берілуі мүмкін: алайда, мұндай функциялардың ең көп қолданылатын саласы – Евклид кеңістіктеріндегі үлестірімдер теориясы болғандықтан, Ω Евклид кеңістігіндегі ашық жиын болсын. Содан кейін, егер f: Ω → функциясы әрбір сынақ функциясы үшін
i. e. its Lebesgue integral is finite on all compact subsets K of Ω, then f is called locally integrable. The set of all such functions is denoted by L1,loc(Ω):
where denotes the restriction of f to the set K.
The classical definition of a locally integrable function involves only measure theoretic and topological concepts and can be carried over abstract to complex valued functions on a topological measure space (X, Σ, μ): however, since the most common application of such functions is to distribution theory on Euclidean spaces, Let Ω be an open set in the Euclidean space Then a function f : Ω → such that
for each test function is called locally integrable, and the set of such functions is denoted by L1,loc(Ω). Here denotes the set of all infinitely differentiable functions φ : Ω → with compact support contained in Ω. This definition has its roots in the approach to measure and integration theory based on the concept of continuous linear functional on a topological vector space, developed by the Nicolas Bourbaki school: it is also the one adopted by and by This "distribution theoretic" definition is equivalent to the standard one, as the following lemma proves:
A given function f : Ω → is locally integrable according to if and only if it is locally integrable according to , i. e.
орындалса, онда f жергілікті интегралданғыш деп аталады, ал мұндай функциялардың жиынтығы L1,loc(Ω) арқылы белгіленеді. Мұнда φ: Ω → функцияларының барлық шексіз дифференциалданатын жиынтығы, олардың таяу орналасқан (компакт) таяулығы Ω ішінде орналасқан. Бұл анықтама Николас Бурбаки мектебінің дамытқан топологиялық векторлық кеңістіктегі үздіксіз сызықтық функционалдар тұжырымдамасына негізделген өлшем және интеграция теориясының негізінде жасалған: сондай-ақ, осы анықтама және басқалары да қабылданған. Бұл «үлестірімдер теориялық» анықтама келесі лемманың дәлелдейтіндей, стандартты анықтамамен тең: Берілген функция f: Ω → функциясы егер және тек егер ол өлшемдік анықтама бойынша жергілікті интегралданғыш болса, онда ол стандартты анықтама бойынша да жергілікті интегралданғыш болады, яғни.
i. e. its Lebesgue integral is finite on all compact subsets K of Ω, then f is called locally integrable. The set of all such functions is denoted by L1,loc(Ω):
where denotes the restriction of f to the set K.
The classical definition of a locally integrable function involves only measure theoretic and topological concepts and can be carried over abstract to complex valued functions on a topological measure space (X, Σ, μ): however, since the most common application of such functions is to distribution theory on Euclidean spaces, Let Ω be an open set in the Euclidean space Then a function f : Ω → such that
for each test function is called locally integrable, and the set of such functions is denoted by L1,loc(Ω). Here denotes the set of all infinitely differentiable functions φ : Ω → with compact support contained in Ω. This definition has its roots in the approach to measure and integration theory based on the concept of continuous linear functional on a topological vector space, developed by the Nicolas Bourbaki school: it is also the one adopted by and by This "distribution theoretic" definition is equivalent to the standard one, as the following lemma proves:
A given function f : Ω → is locally integrable according to if and only if it is locally integrable according to , i. e.
Жалпылау: жергілікті интеграцияланатын р-функциялар
. Ω Евклид кеңістігіндегі ашық жиын болсын және f: Ω → Лебег өлшенетін функция болсын. Егер, 1 ≤ p ≤ +∞ үшін берілген p үшін, f келесіні қанағаттандырса, яғни, ол Ω-ның барлық компактты K жиындары үшін [[Lp кеңістігіне]] жатады, онда f жергілікті p-интегралданғыш немесе p жергілікті интегралданғыш деп аталады. Олардың сырттай көрінетін жоғары жалпылығына қарамастан, жергілікті p-интегралданғыш функциялар 1 < p ≤ +∞ шарты орындалатын әрбір p үшін жергілікті интегралданғыш функциялардың ішкі жиыны болып табылады.
i. e., it belongs to [[Lp space for all compact subsets K of Ω, then f is called locally p integrable or also p locally integrable. Despite their apparent higher generality, locally p integrable functions form a subset of locally integrable functions for every p such that 1 < p ≤ +∞.
L1,loc - абсолютті үздіксіз өлшемдердің тығыздық кеңістігі
Функция f – абсолютті үздіксіз өлшемнің тығыздығы болып табылады, егер және тек егер. Осы нәтиженің дәлелі оның тұжырымын қайта формулилеу арқылы жасалады. Бұл теорема әрбір жергілікті интегралданатын функция абсолютті үздіксіз өлшемді анықтайды және керісінше, әрбір абсолютті үздіксіз өлшем жергілікті интегралданатын функцияны анықтайды деп тұжырымдайды. Бұл, сондай-ақ, абстрактілі өлшемдер теориясы аясында Станислав Сакс өзінің еңбегінде берген маңызды Радон-Никодым теоремасының түрі болып табылады.
The proof of this result is sketched by Rephrasing its statement, this theorem asserts that every locally integrable function defines an absolutely continuous measure and conversely that every absolutely continuous measures defines a locally integrable function: this is also, in the abstract measure theory framework, the form of the important Radon–Nikodym theorem given by Stanisław Saks in his treatise.
Қолданбалар
Жергілікті интегралданатын функциялар үлестіру теориясында маңызды рөл атқарады және олар функциялардың және функциялық кеңістіктердің әртүрлі кластарында, мысалы, шектелген өзгерулі функцияларында кездеседі. Бұған қоса, олар Радон-Никодим теоремасында кез келген өлшемнің абсолюттік үздіксіз бөлігін анықтау арқылы қолданылады.