Введение
Функция, интегрируемая на своей области определения.
В математике локально интегрируемая функция (иногда также называемая локально суммируемой функцией) — это функция, интеграл которой является конечным на каждом компактном подмножестве её области определения. Важность таких функций заключается в том, что их функциональное пространство аналогично пространствам L^(p), но его элементы не обязаны удовлетворять каким-либо ограничениям на скорость роста их поведения на границе области определения (в бесконечности, если область неограничена): иными словами, локально интегрируемые функции могут неограниченно быстро расти на границе области определения, но при этом остаются управляемыми, подобно обычным интегрируемым функциям.
In mathematics, a locally integrable function (sometimes also called locally summable function) is a function which is integrable (so its integral is finite) on every compact subset of its domain of definition. The importance of such functions lies in the fact that their function space is similar to L^(p) spaces, but its members are not required to satisfy any growth restriction on their behavior at the boundary of their domain (at infinity if the domain is unbounded): in other words, locally integrable functions can grow arbitrarily fast at the domain boundary, but are still manageable in a way similar to ordinary integrable functions.
Стандартное определение
Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве, а f : Ω → — измеримая по Лебегу функция. Если f на Ω такова, что, то есть ее интеграл Лебега конечен на всех компактных подмножествах K множества Ω, то f называется локально интегрируемой. Множество всех таких функций обозначается L1,loc(Ω):
i. e. its Lebesgue integral is finite on all compact subsets K of Ω, then f is called locally integrable. The set of all such functions is denoted by L1,loc(Ω):
where denotes the restriction of f to the set K.
The classical definition of a locally integrable function involves only measure theoretic and topological concepts and can be carried over abstract to complex valued functions on a topological measure space (X, Σ, μ): however, since the most common application of such functions is to distribution theory on Euclidean spaces, Let Ω be an open set in the Euclidean space Then a function f : Ω → such that
for each test function is called locally integrable, and the set of such functions is denoted by L1,loc(Ω). Here denotes the set of all infinitely differentiable functions φ : Ω → with compact support contained in Ω. This definition has its roots in the approach to measure and integration theory based on the concept of continuous linear functional on a topological vector space, developed by the Nicolas Bourbaki school: it is also the one adopted by and by This "distribution theoretic" definition is equivalent to the standard one, as the following lemma proves:
A given function f : Ω → is locally integrable according to if and only if it is locally integrable according to , i. e.
где обозначает ограничение функции f на множество K.
i. e. its Lebesgue integral is finite on all compact subsets K of Ω, then f is called locally integrable. The set of all such functions is denoted by L1,loc(Ω):
where denotes the restriction of f to the set K.
The classical definition of a locally integrable function involves only measure theoretic and topological concepts and can be carried over abstract to complex valued functions on a topological measure space (X, Σ, μ): however, since the most common application of such functions is to distribution theory on Euclidean spaces, Let Ω be an open set in the Euclidean space Then a function f : Ω → such that
for each test function is called locally integrable, and the set of such functions is denoted by L1,loc(Ω). Here denotes the set of all infinitely differentiable functions φ : Ω → with compact support contained in Ω. This definition has its roots in the approach to measure and integration theory based on the concept of continuous linear functional on a topological vector space, developed by the Nicolas Bourbaki school: it is also the one adopted by and by This "distribution theoretic" definition is equivalent to the standard one, as the following lemma proves:
A given function f : Ω → is locally integrable according to if and only if it is locally integrable according to , i. e.
Классическое определение локально интегрируемой функции включает только понятия теории меры и топологии и может быть перенесено на абстрактные комплекснозначные функции на топологическом пространстве меры (X, Σ, μ): однако, поскольку наиболее распространенное применение таких функций — теория распределений на евклидовых пространствах, пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве. Тогда функция f : Ω → , такая, что
i. e. its Lebesgue integral is finite on all compact subsets K of Ω, then f is called locally integrable. The set of all such functions is denoted by L1,loc(Ω):
where denotes the restriction of f to the set K.
The classical definition of a locally integrable function involves only measure theoretic and topological concepts and can be carried over abstract to complex valued functions on a topological measure space (X, Σ, μ): however, since the most common application of such functions is to distribution theory on Euclidean spaces, Let Ω be an open set in the Euclidean space Then a function f : Ω → such that
for each test function is called locally integrable, and the set of such functions is denoted by L1,loc(Ω). Here denotes the set of all infinitely differentiable functions φ : Ω → with compact support contained in Ω. This definition has its roots in the approach to measure and integration theory based on the concept of continuous linear functional on a topological vector space, developed by the Nicolas Bourbaki school: it is also the one adopted by and by This "distribution theoretic" definition is equivalent to the standard one, as the following lemma proves:
A given function f : Ω → is locally integrable according to if and only if it is locally integrable according to , i. e.
для каждой пробной функции , называется локально интегрируемой, и множество таких функций обозначается L1,loc(Ω). Здесь обозначает множество всех бесконечно дифференцируемых функций φ : Ω → с компактным носителем, содержащимся в Ω. Это определение восходит к подходу к теории меры и интеграции, основанному на понятии непрерывного линейного функционала на топологическом векторном пространстве, разработанному школой Николя Бурбаки: оно также принято в и в . Это "теоретическое" определение распределений эквивалентно стандартному, как доказывает следующая лемма: заданная функция f : Ω → является локально интегрируемой в смысле , тогда и только тогда, когда она локально интегрируема в смысле , то есть .
i. e. its Lebesgue integral is finite on all compact subsets K of Ω, then f is called locally integrable. The set of all such functions is denoted by L1,loc(Ω):
where denotes the restriction of f to the set K.
The classical definition of a locally integrable function involves only measure theoretic and topological concepts and can be carried over abstract to complex valued functions on a topological measure space (X, Σ, μ): however, since the most common application of such functions is to distribution theory on Euclidean spaces, Let Ω be an open set in the Euclidean space Then a function f : Ω → such that
for each test function is called locally integrable, and the set of such functions is denoted by L1,loc(Ω). Here denotes the set of all infinitely differentiable functions φ : Ω → with compact support contained in Ω. This definition has its roots in the approach to measure and integration theory based on the concept of continuous linear functional on a topological vector space, developed by the Nicolas Bourbaki school: it is also the one adopted by and by This "distribution theoretic" definition is equivalent to the standard one, as the following lemma proves:
A given function f : Ω → is locally integrable according to if and only if it is locally integrable according to , i. e.
Обобщение: локально р-интегрируемые функции
Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве, а f : Ω → — измеримая по Лебегу функция. Если для заданного p, где 1 ≤ p ≤ +∞, f удовлетворяет
т. е. принадлежит к Lp-пространству для всех компактных подмножеств K множества Ω, то f называется локально p-интегрируемой или также p-локально интегрируемой. Несмотря на кажущуюся большую общность, локально p-интегрируемые функции образуют подмножество локально интегрируемых функций для каждого p, удовлетворяющего условию 1 < p ≤ +∞.
L1,loc - пространство плотности абсолютно непрерывных измерений
Функция f является плотностью абсолютно непрерывной меры тогда и только тогда, когда... Доказательство этого результата представлено в общих чертах. Перефразируя утверждение, эта теорема утверждает, что каждая локально интегрируемая функция определяет абсолютно непрерывную меру, и наоборот, каждая абсолютно непрерывная мера определяет локально интегрируемую функцию: это также, в рамках абстрактной теории меры, форма важной теоремы Радона — Никодима, представленной Станиславом Саксом в его труде.
The proof of this result is sketched by Rephrasing its statement, this theorem asserts that every locally integrable function defines an absolutely continuous measure and conversely that every absolutely continuous measures defines a locally integrable function: this is also, in the abstract measure theory framework, the form of the important Radon–Nikodym theorem given by Stanisław Saks in his treatise.
Приложения
Локально интегрируемые функции играют заметную роль в теории распределений и используются в определении различных классов функций и функциональных пространств, таких как функции ограниченной вариации. Кроме того, они возникают в теореме Радона — Никодима, характеризуя абсолютно непрерывную часть любой меры.