Кіріспе
Универсалды C* алгебрасы
In mathematics, the Cuntz algebra , named after Joachim Cuntz, is the universal C* algebra generated by isometries of an infinite dimensional Hilbert space satisfying certain relations. These algebras were introduced as the first concrete examples of a separable infinite simple C* algebra, meaning as a Hilbert space, is isometric to the sequence space
Математикада, Кунц алгебрасы, Жоахим Кунцтың есімімен аталған, белгілі бір қатынастарды қанағаттандыратын шексіз өлшемді Гильберт кеңістігінің изометрияларымен туындаған универсалды C* алгебрасы болып табылады. Бұл алгебралар ажыратылатын, шексіз қарапайым C* алгебраның алғашқы нақты мысалдары ретінде енгізілді, яғни Гильберт кеңістігі ретінде, ол тізбектік кеңістікке изометриялық және тривиалды емес жабық идеалдары жоқ. Бұл алгебралар қарапайым шексіз C* алгебраларын зерттеу үшін маңызды, себебі кез келген мұндай алгебрада, кез келген n үшін, осы алгебраның бөлігі болып табылатын субальгебра бар.
Анықтамалар
n ≥ 2 болсын және бөлінгіш Гильберт кеңістігі болсын. операторлар жиынымен туындаған C* алгебрасын қарастырайық (яғни ) кеңістікте әрекет ететін изометриялар). Бұл әмбебап C* алгебрасы Кунц алгебрасы деп аталады, және A деп белгіленеді. Егер оның әрбір тұқым қуалайтын C* субальгебрасы шексіз болса, онда қарапайым C* алгебрасы таза шексіз деп аталады. бөлінгіш, қарапайым және таза шексіз C* алгебрасы болып табылады. Кез келген қарапайым шексіз C* алгебрасында көшірме ретінде субальгебра болады.
of isometries (i. e. ) acting on satisfying
This universal C* algebra is called the Cuntz algebra, denoted by
A simple C* algebra is said to be purely infinite if every hereditary C* subalgebra of it is infinite. is a separable, simple, purely infinite C* algebra. Any simple infinite C* algebra contains a subalgebra that has as a quotient.
Жіктеу
Кунц алгебралары жұптық изоморфты емес, яғни n ≠ m болғанда изоморфты емес. K0 тобы – n-1 реттік циклдік топ. K0 функтор болғандықтан, және изоморфты емес.
Нақты C*-алгебралар мен әмбебап C*-алгебра арасындағы байланыс
Теорема. Нақты C* алгебрасы n генераторлар s1, ..., sn арқылы туындаған жалпы C* алгебрасына изоморфты, барлық i үшін si*si = 1 және ∑ sisi* = 1 қатынастарын қанағаттандырады. Теореманың дәлелі келесі фактіге негізделген: n изометриялар s1, ..., sn арқылы туындаған және ортогональды диапазонға ие кез келген C* алгебрада UHF алгебрасының n∞ типінің көшірмесі бар. Атап айтқанда, ол формадағы сөздермен жазылған * субальгебрамен қамтылған, бұл субальгебра шамамен шекті өлшемді және бірегей C* нормасына ие. Субальгебра алгебра элементтері үшін Фурье коэффициенттері кеңістігінің рөлін атқарады. Кунцке тиесілі негізгі техникалық лемма, алгебрадағы элементтің барлық Фурье коэффициенттері нөлге тең болса және тек сонда ғана нөлге тең екенін айтады. Бұл арқылы, 1-ден 2-ге дейінгі гомоморфизмнің инъективті екенін көрсетуге болады, бұл теореманы дәлелдейді. UHF алгебрасының бірліксіз каноникалық түрде өзіне изоморфты субальгебрасы бар: тікелей жүйенің Mn сатысында, жоғарғы сол жақ бұрышында 1 және қалғандары нөл болатын рангі 1 проекция e11 қарастырылады. Бұл проекцияны тікелей жүйе арқылы таратыңыз. Тікелей жүйенің Mnk сатысында рангі nk − 1 проекция пайда болады. Тікелей лимитте бұл P проекциясын береді. Бұрыштағы
The * subalgebra , being approximately finite dimensional, has a unique C* norm. The subalgebra plays role of the space of Fourier coefficients for elements of the algebra. A key technical lemma, due to Cuntz, is that an element in the algebra is zero if and only if all its Fourier coefficients vanish. Using this, one can show that the quotient map from to is injective, which proves the theorem. The UHF algebra has a non unital subalgebra that is canonically isomorphic to itself: In the Mn stage of the direct system defining , consider the rank 1 projection e11, the matrix that is 1 in the upper left corner and zero elsewhere. Propagate this projection through the direct system. At the Mnk stage of the direct system, one has a rank nk − 1 projection. In the direct limit, this gives a projection P in The corner
is isomorphic to The * endomorphism Φ that maps onto is implemented by the isometry s1, i. e. Φ(·) = s1(·)s1*. is in fact the crossed product of with the endomorphism Φ.
бұрыштағы * эндоморфизм Φ, s1 изометриясы арқылы іске асырылады, яғни Φ(·) = s1(·)s1*. шындығында, бұл Φ эндоморфизмімен қиылысқан көбейтінді болып табылады.
The * subalgebra , being approximately finite dimensional, has a unique C* norm. The subalgebra plays role of the space of Fourier coefficients for elements of the algebra. A key technical lemma, due to Cuntz, is that an element in the algebra is zero if and only if all its Fourier coefficients vanish. Using this, one can show that the quotient map from to is injective, which proves the theorem. The UHF algebra has a non unital subalgebra that is canonically isomorphic to itself: In the Mn stage of the direct system defining , consider the rank 1 projection e11, the matrix that is 1 in the upper left corner and zero elsewhere. Propagate this projection through the direct system. At the Mnk stage of the direct system, one has a rank nk − 1 projection. In the direct limit, this gives a projection P in The corner
is isomorphic to The * endomorphism Φ that maps onto is implemented by the isometry s1, i. e. Φ(·) = s1(·)s1*. is in fact the crossed product of with the endomorphism Φ.
Тура сомаларды бейнелеу үшін Кунц алгебрасы
Кунц алгебраларын анықтайтын қатынастар, алдын ала қосымша санаттар үшін бұрынғы өнімнің анықтамасымен үйлеседі. Бұл ұқсастық C* алгебраларындағы бірлік * эндоморфизмдердің C* категориясында дәлделеді. Бұл категорияның объектілері – бірлік * эндоморфизмдер, ал морфизмдер – элементтер, егер әрбір А бірлік * эндоморфизмі үшін, қатынастарды қанағаттандыратын изометриялар болса, эндоморфизмдердің тікелей қосындысы болып табылады және осы тікелей қосындыда кіріктіру морфизмдері – , ал проекция морфизмдері – .
In this direct sum, the inclusion morphisms are , and the projection morphisms are .
Жалпылау
Кунц алгебралары көптеген жолдармен жалпыланды. Олардың ішінде Кунц-Кригер алгебралары, граф C* алгебралары және k граф C* алгебралары ерекше аталады.
Қолданбалы математика
Сигналдарды өңдеуде нақты қалпына келтіруге мүмкіндік беретін суббайтақты сүзгі Канц алгебрасының ұсынылуына себеп болады. Осы сүзгі толқындық теориядағы көп ажыратымды талдау құрастырылысынан да шығады.