Введение
Универсальная C*-алгебра
В математике C*-алгебра Кунца, названная в честь Йоахима Кунца, является универсальной C*-алгеброй, порожденной изометриями бесконечномерного гильбертова пространства, удовлетворяющими определенным соотношениям. Эти алгебры были введены как первые конкретные примеры сепарабельной бесконечной простой C*-алгебры, то есть как гильбертово пространство, изометричное последовательному пространству и не имеющее нетривиальных замкнутых идеалов. Эти алгебры являются фундаментальными для изучения простых бесконечных C*-алгебр, поскольку любая такая алгебра содержит, для любого заданного n, субальгебру, имеющую в качестве фактор-алгебры.
In mathematics, the Cuntz algebra , named after Joachim Cuntz, is the universal C* algebra generated by isometries of an infinite dimensional Hilbert space satisfying certain relations. These algebras were introduced as the first concrete examples of a separable infinite simple C* algebra, meaning as a Hilbert space, is isometric to the sequence space
and it has no nontrivial closed ideals. These algebras are fundamental to the study of simple infinite C* algebras since any such algebra contains, for any given n, a subalgebra that has as quotient.
Определения
Пусть n ≥ 2 и H — разделяемое пространство Гильберта. Рассмотрим C*-алгебру, порожденную набором изометрий (т.е. vᵢvⱼ* = δᵢⱼ) действующих на H и удовлетворяющих условию Σᵢ vᵢvᵢ* = 1. Эта универсальная C*-алгебра называется алгеброй Кунца и обозначается Oₙ. Простая C*-алгебра называется чисто бесконечной, если каждая наследственная C*-субальгебра бесконечна. Oₙ является разделяемой, простой, чисто бесконечной C*-алгеброй. Любая простая бесконечная C*-алгебра содержит субальгебру, имеющую Oₙ в качестве фактор-алгебры.
of isometries (i. e. ) acting on satisfying
This universal C* algebra is called the Cuntz algebra, denoted by
A simple C* algebra is said to be purely infinite if every hereditary C* subalgebra of it is infinite. is a separable, simple, purely infinite C* algebra. Any simple infinite C* algebra contains a subalgebra that has as a quotient.
Классификация
Алгебры Кунца попарно неизоморфны, то есть алгебры Cₙ и Cₘ неизоморфны при n ≠ m. K₀-группа алгебры Cₙ является ℤ/n-1ℤ, циклической группой порядка n − 1. Поскольку K₀ является функтором, алгебры Cₙ и Cₘ неизоморфны.
Связь между конкретными C*-алгебрами и универсальной C*-алгеброй
Теорема. Конкретная C*-алгебра изоморфна универсальной C*-алгебре, генерируемой n генераторами s₁,…,sₙ при условиях si*si = 1 для всех i и ∑ᵢsᵢsᵢ* = 1. Доказательство теоремы опирается на следующий факт: любая C*-алгебра, сгенерированная n изометриями s₁,…,sₙ с ортогональными диапазонами, содержит копию UHF-алгебры типа n∞. А именно, она порождается словами вида. * субагебра, будучи приблизительно конечномерной, имеет единственную C*-норму. Субальгебра играет роль пространства коэффициентов Фурье для элементов алгебры. Ключевая техническая лемма, установленная Кунцем, заключается в том, что элемент в алгебре равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты Фурье равны нулю. Используя это, можно показать, что факторное отображение из в инъективно, что и доказывает теорему. UHF-алгебра имеет не унитальную субагебру, которая канонически изоморфна самой себе: на стадии Mn прямой системы, определяющей, рассмотрим проекцию ранга 1 e₁₁, матрицу, равную 1 в верхнем левом углу и нулю в остальных позициях. Перенесите эту проекцию через прямую систему. На стадии Mnk прямой системы получается проекция ранга nk − 1. В прямой границе это дает проекцию P в углу, изоморфную. * эндоморфизм Φ, отображающий в , реализуется изометрией s₁, то есть Φ(·) = s₁(·)s₁*. на самом деле является перекрестным произведением с эндоморфизмом Φ.
The * subalgebra , being approximately finite dimensional, has a unique C* norm. The subalgebra plays role of the space of Fourier coefficients for elements of the algebra. A key technical lemma, due to Cuntz, is that an element in the algebra is zero if and only if all its Fourier coefficients vanish. Using this, one can show that the quotient map from to is injective, which proves the theorem. The UHF algebra has a non unital subalgebra that is canonically isomorphic to itself: In the Mn stage of the direct system defining , consider the rank 1 projection e11, the matrix that is 1 in the upper left corner and zero elsewhere. Propagate this projection through the direct system. At the Mnk stage of the direct system, one has a rank nk − 1 projection. In the direct limit, this gives a projection P in The corner
is isomorphic to The * endomorphism Φ that maps onto is implemented by the isometry s1, i. e. Φ(·) = s1(·)s1*. is in fact the crossed product of with the endomorphism Φ.
Алгебра Канца для представления прямых сумм
Отношения, определяющие алгебры Кунца, согласуются с определением побочного произведения для преаддитивных категорий. Эта схожесть становится точной в C*-категории унитальных * эндоморфизмов над C*-алгебрами. Объектами этой категории являются унитальные * эндоморфизмы, а морфизмами – элементы, где если для каждого унитального * эндоморфизма A существует прямая сумма эндоморфизмов, если существуют изометрии, удовлетворяющие соотношениям, и в этой прямой сумме морфизмы включения равны , а морфизмы проекций равны .
In this direct sum, the inclusion morphisms are , and the projection morphisms are .
Обобщения
Алгебры Кунца были обобщены различными способами. Среди них особенно примечательны алгебры Кунца — Кригера, C*-алгебры графов и C*-алгебры k-графов.
Прикладная математика
В обработке сигналов субполосный фильтр с точной реконструкцией порождает представления алгебры Кунца. Тот же фильтр также возникает в построении многоразрешенного анализа в теории вейвлетов.