Кіріспе
Математикада, толқындық талдау саласында, қайта құруға болатын функция – өзіне ұқсас қасиетті орындалатын функция. Егер функция маскаға қатысты қайта құруға болатын болса, онда бұл жағдайды қайта құру теңдеуі, кеңейту теңдеуі немесе екі масштабты теңдеу деп атайды. Дискретті маскасы бар функцияның конволюциясын (жұлдызшамен белгіленеді, *) және кеңейту операторын қолдану арқылы оны ықшамдап жазуға болады:
This condition is called refinement equation, dilation equation or two scale equation. Using the convolution (denoted by a star, *) of a function with a discrete mask and the dilation operator one can write more concisely:
It means that one obtains the function, again, if you convolve the function with a discrete mask and then scale it back. There is a similarity to iterated function systems and de Rham curves. The operator is linear. A refinable function is an eigenfunction of that operator. Its absolute value is not uniquely defined. That is, if is a refinable function,
then for every the function is refinable, too. These functions play a fundamental role in wavelet theory as scaling functions.
Бұл, функцияны дискретті маскасы бар функциямен конволюциялап, содан кейін оны масштабтау арқылы қайтадан алуға болады дегенді білдіреді. Итерацияланған функциялық жүйелер және де Рам қисықтары арасында ұқсастық бар. Оператор сызықтық. Қайта құруға болатын функция – осы оператордың өзіндік функциясы. Оның абсолюттік шамасы бірегей анықталмайды. Яғни, егер функция қайта құруға болатын болса, онда кез келген үшін функция да қайта құруға болатын болады. Бұл функциялар толқындық теорияда масштабтау функциялары ретінде маңызды рөл атқарады.
This condition is called refinement equation, dilation equation or two scale equation. Using the convolution (denoted by a star, *) of a function with a discrete mask and the dilation operator one can write more concisely:
It means that one obtains the function, again, if you convolve the function with a discrete mask and then scale it back. There is a similarity to iterated function systems and de Rham curves. The operator is linear. A refinable function is an eigenfunction of that operator. Its absolute value is not uniquely defined. That is, if is a refinable function,
then for every the function is refinable, too. These functions play a fundamental role in wavelet theory as scaling functions.
Конвольсия
Егер - ны қатысты рефиналдауға болатын болса, және - ны қатысты рефиналдауға болатын болса, онда - ны қатысты рефиналдауға болады.
Мысалдар
Егер анықтама таралымдарға дейін кеңейтілсе, Дирак импульсі бірлік векторға қатысты жақсартылады, ол Кронекер дельтасы деп аталады. Дирак таралымының n-шы туындысы жақсартылады. Хевисайд функциясы жақсартылады. Күш экспонентасы бар уақыттық қуат функциялары жақсартылады. Үшбұрышты функция жақсартылатын функция болып табылады. Бір-біріне тікелей интегралдық түйіндері бар B-сплайн функциялары конволюция теоремасы және [a, b] аралығы үшін сипаттама функциясының жақсарту қабілетіне байланысты жақсартылады (төртбұрышты функция). Барлық полиномдық функциялар жақсартылады. Әр жақсарту маскасы үшін тұрақты факторға дейін бірегей түрде анықталатын полином бар. Кез келген дәрежелі полином үшін көптеген жақсарту маскалары бар, олардың барлығы кез келген маска түрімен және конволюциялық қуатпен ерекшеленеді. Рационалдық функция жақсартылатын болса және тек қана оны бөлшектерге бөлу арқылы , мұнда n – оң жаратылыс саны және – шектеулі көп нөлдік емес элементтері бар нақты тізбек (Лоран полиномы) түрінде көрсетуге болады (оқылыңыз: ). Лоран полиномы – бұл байланысты жақсарту маскасы.