Введение

В математике, в области вейвлет-анализа, рафинируемая функция – это функция, обладающая определенным свойством самоподобия. Функция называется рафинируемой относительно маски, если

Это условие называется уравнением рафинирования, уравнением дилатации или уравнением двух масштабов. Используя свёртку (обозначаемую звездочкой, *) функции с дискретной маской и оператор дилатации, можно записать более кратко:

Это означает, что функция получается повторно, если свернуть её с дискретной маской и затем применить обратное масштабирование. Существует сходство с итерированными функциональными системами и кривыми де Рама. Оператор является линейным. Рафинируемая функция является собственным вектором этого оператора. Её абсолютное значение не определено однозначно. То есть, если является рафинируемой функцией, то для любого функция также является рафинируемой. Эти функции играют фундаментальную роль в теории вейвлетов как масштабирующие функции.

Конволирование

Если функция f может быть уточнена относительно функции g, и функция g может быть уточнена относительно функции h, то функция f может быть уточнена относительно функции h.

Примеры

Если расширить определение на распределения, то дельта-функция Дирака уточняема относительно единичного вектора , известного как дельта Кронекера. -я производная распределения Дирака уточняема относительно . Функция Хевисайда уточняема относительно . Усечённые степенные функции с показателем уточняемы относительно . Треугольная функция является уточняемой функцией. B-сплайны с последовательными интегральными узлами уточняемы благодаря теореме свёртки и уточняемости характеристической функции для интервала (прямоугольной функции). Все полиномиальные функции уточняемы. Для каждой маски уточнения существует полином, который однозначно определён с точностью до постоянного множителя. Для каждого полинома степени существует множество масок уточнения, которые отличаются маской типа для любой маски и свёрточной степени . Рациональная функция уточняема тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы простых дробей , где – положительное натуральное число, а – вещественная последовательность с конечным числом ненулевых элементов (полином Лорана), такая, что (читается: ). Полином Лорана является связанной маской уточнения.