Кіріспе
Толқын таралу мәселелерінде кездесетін сызықтық емес бөлшектік дифференциалдық теңдеу.
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
Эйкондық теңдеу (грекше εἰκών – бейне) – толқын таралу мәселелерінде кездесетін сызықтық емес бірінші реттік бөлшектік дифференциалдық теңдеу. Геометриялық оптикадағы классикалық эйкондық теңдеу – мынадай түрдегі дифференциалдық теңдеу болып табылады:
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
мұнда – ашық жиынның ішкі жиыны, – оң функция, – градиентті білдіреді, ал – Евклид нормасы. Функция берілген және шешімдер ізделеді. Геометриялық оптика контекстінде функция – ортаның сындыру көрсеткіші. Жалпы алғанда, эйкондық теңдеу – мынадай түрдегі теңдеу:
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
мұнда – айнымалылардың функциясы. Бұл жерде функция берілген, ал – шешім. Егер , онда теңдеу келесідей болады:
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
Эйкондық теңдеулер WKB әдісінде және Максвелл теңдеулерін зерттеуде табиғи түрде туындайды. Эйкондық теңдеулер физикалық (толқындық) оптика мен геометриялық (сәулелік) оптика арасындағы байланысты қамтамасыз етеді. Эйкондық теңдеудің шешімін жуықтау үшін жылдам есептеу алгоритмі – жылдам қадаммен жүру әдісі.
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
Тарих
"Эйконал" термині алғаш рет Генрих Брунс Геометриялық оптика саласында қолданған. Дегенмен, нақты теңдеу Уильям Роуэн Гамильтонның геометриялық оптика туралы маңызды еңбегінде ертерек кездеседі.
the actual equation appears earlier in the seminal work of William Rowan Hamilton on geometric optics.
Есептеу алгоритмдері
1990 жылдардан бері эйконал теңдеуін шешу үшін бірнеше жылдам және тиімді алгоритмдер әзірленді. Осы алгоритмдердің көптегені бұрынғы, теріс емес жиек ұзындығы бар графтардағы ең қысқа жол мәселелері үшін жасалған алгоритмдерді пайдаланады. Бұл алгоритмдер физикалық түсіндірумен қамтамасыз етілген себеп-салдар қатынасын пайдаланады және әдетте доменді тор немесе реттелген тор арқылы дискреттейді және дискреттелген әрбір нүктеде шешімді есептейді. Үшбұрышты беттердегі эйконал шешімдері енгізілді. немесе "Соңғы үлкен белгілер" әдісі. Екі кезек әдісі де әзірленді, ол жергілікті ақпаратқа сүйене отырып, тор нүктесін қай кезекке тағайындау керектігін анықтау үшін шекті деңгеймен қолданылатын, екі кезек қолданатын Беллман-Форд алгоритмінің нұсқасы болып табылады. Тез сыпыру әдісі (FSM) сияқты сыпыру алгоритмдері, сәйкес сипаттама қисықтары жиі бағыттарын өзгертпегенде, эйконал теңдеулерін шешу үшін өте тиімді. Детрикстің параллельдік іске асыруы да доменді бөліп, әрбір жеке сыпыруды параллельдейді, сондықтан процессорлар өлшемді гипержазықтықтағы тор нүктелерін бүкіл домен толық сыпырылғанға дейін жаңарту үшін жауапты болады. FMM тиімділігін және FSM қарапайымдылығын пайдаланатын гибридтік әдістер де енгізілді. Мысалы, үймелі жасуша әдісі (HCM) доменді жасушаларға бөліп, жасуша доменінде FMM-ді орындайды, ал әрбір "жасуша" жаңартылған сайын FSM сол жасушаның ішінде орналасқан жергілікті тор нүктелері доменінде орындалады.
Сандық шамалау
Қарапайымдық үшін, координаталық кеңістік x бағытында және y бағытында сәйкесінше аралықтары бар біркелкі торға дискреттелген деп есептейік.