Введение
Нелинейное частное дифференциальное уравнение, возникающее в задачах распространения волн.
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
Уравнение Эйконала (от греческого εἰκών, изображение) — нелинейное частное дифференциальное уравнение первого порядка, возникающее в задачах распространения волн. Классическое уравнение Эйконала в геометрической оптике — это дифференциальное уравнение вида
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
где лежит в открытом подмножестве , — положительная функция, обозначает градиент, а — евклидова норма. Функция задана, и требуется найти решения. В контексте геометрической оптики функция является показателем преломления среды. В более общем виде уравнение Эйконала имеет вид
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
где — функция переменных. Здесь функция задана, а — искомое решение. Если , то уравнение превращается в.
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
Уравнения Эйконала естественно возникают в методе ВКБ и при изучении уравнений Максвелла. Уравнения Эйконала устанавливают связь между физической (волновой) оптикой и геометрической (лучевой) оптикой. Одним из быстрых вычислительных алгоритмов для приближенного решения уравнения Эйконала является метод быстрого марширования.
An eikonal equation (from Greek εἰκών, image) is a non linear first order partial differential equation that is encountered in problems of wave propagation. The classical eikonal equation in geometric optics is a differential equation of the form
where lies in an open subset of , is a
positive function, denotes the gradient, and is the Euclidean norm. The function is given and one seeks solutions In the context of geometric optics, the function is the refractive index of the medium. More generally, an eikonal equation is an equation of the form
where is a function of variables. Here the function is given, and is the solution. If , then equation becomes
Eikonal equations naturally arise in the WKB method
and the study of Maxwell's equations. Eikonal equations provide a link between physical (wave) optics and geometric (ray) optics. One fast computational algorithm to approximate the solution to the eikonal equation is the fast marching method.
История
Термин "эйконал" впервые был использован в контексте геометрической оптики Генрихом Брунсом. Однако само уравнение встречается раньше в основополагающем труде Уильяма Роуэна Гамильтона по геометрической оптике.
the actual equation appears earlier in the seminal work of William Rowan Hamilton on geometric optics.
Вычислительные алгоритмы
С 1990-х годов было разработано несколько быстрых и эффективных алгоритмов для решения уравнения Эйконала. Многие из этих алгоритмов используют алгоритмы, разработанные гораздо раньше для задач поиска кратчайшего пути на графах с неотрицательными весами ребер. Эти алгоритмы используют причинность, обусловленную физической интерпретацией, и обычно дискретизируют область, используя сетку или регулярную сетку, и вычисляют решение в каждой дискретизированной точке. Решения для уравнения Эйконала на треугольных поверхностях были представлены в работах, использующих методы "Large Labels Last". Также были разработаны два метода с очередями, которые по сути являются версией алгоритма Беллмана-Форда, но используют две очереди с порогом, определяющим, в какую очередь следует отнести точку сетки, исходя из локальной информации. Алгоритмы подметания, такие как метод быстрого подметания (FSM), очень эффективны для решения уравнений Эйконала, когда соответствующие характеристические кривые не меняют направление слишком часто. Параллельная реализация Detrixhe также разбивает область на части, но параллелизует каждое отдельное подметание, так что процессоры отвечают за обновление точек сетки в n-мерной гиперплоскости до полного подметания всей области. Также были введены гибридные методы, сочетающие эффективность FMM с простотой FSM. Например, метод кучи ячеек (HCM) разбивает область на ячейки и применяет FMM к ячеечной области, а каждый раз при обновлении "ячейки" выполняется FSM на локальной области точек сетки, находящейся внутри этой ячейки.
Числовое приближение
Для простоты предположим, что область дискретизирована в равномерную сетку с шагами и в направлениях x и y соответственно.