Эллиптикалық қисықтар мен Ферманың соңғы теоремасының байланысы
Modular elliptic curve
Модульдік эллипстік қисықтар, модулярлық теорема, Танияма-Симура болжамы. Эллипстік қисықтар мен модулярлық формалар арасындағы байланыс түсіндіріледі. Математика терминдері.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Модульді эллиптік қисық – модульді қисық арқылы X0(N) → E параметризациясына ие эллиптік қисық E. Бұл эллиптік қисық болатын модульді қисықтан ерекшеленеді, мұны эллиптік модульді қисық деп атауға болады. Модульділік теоремасы, сондай-ақ Танияма-Шимура болжамы ретінде де белгілі, рационал сандар арқылы анықталған кез келген эллиптік қисық модульді екенін күтіреді.
A modular elliptic curve is an elliptic curve E that admits a parametrisation X0(N) → E by a modular curve. This is not the same as a modular curve that happens to be an elliptic curve, something that could be called an elliptic modular curve. The modularity theorem, also known as the Taniyama–Shimura conjecture, asserts that every elliptic curve defined over the rational numbers is modular.
Тарих және маңызы
1950-1960 жылдары эллипстік қисықтар мен модульдік формалар арасындағы байланысты жапон математигі Горо Шимура, Ютака Танияма ұсынған идеяларға сүйене отырып, болжады. Батыста бұл идея Андре Вейлдің 1967 жылғы мақаласы арқылы кеңінен танылды. Вейл осыған қатысты түсіндірмелік дәлелдер келтіргендіктен, бұл болжам кейде Танияма–Шимура–Вейл болжамы деп аталады. Ол кезде, әрбір рационалды эллипстік қисық модульді болады делінген. Дамудың басқа бір саласында, 1960 жылдардың соңында Ив Хельгегуар Ферма теңдеуінің (a,b,c) түбірлерін мүлдем басқа математикалық объектімен – эллипстік қисықпен байланыстыру идеясын келтірді. Бұл қисық жазықтықтағы (x, y) координаталары белгілі бір қатынасты қанағаттандыратын барлық нүктелерден тұрады.
In the 1950s and 1960s a connection between elliptic curves and modular forms was conjectured by the Japanese mathematician Goro Shimura based on ideas posed by Yutaka Taniyama. In the West it became well known through a 1967 paper by André Weil. With Weil giving conceptual evidence for it, it is sometimes called the Taniyama–Shimura–Weil conjecture. It states that every rational elliptic curve is modular. On a separate branch of development, in the late 1960s, Yves Hellegouarch came up with the idea of associating solutions (a,b,c) of Fermat's equation with a completely different mathematical object: an elliptic curve. The curve consists of all points in the plane whose coordinates (x, y) satisfy the relation
Мұндай эллипстік қисық өте ерекше қасиеттерге ие болады, бұл оның теңдеуіндегі бүтін сандардың жоғары дәрежелерінің болуымен және a + bn = cn өрнегінің n-ші дәрежеде болуымен байланысты. 1986 жылдың жазында Кен Рибет Герхард Фрейдің күткеніндей, Танияма–Шимура болжамының (сол кезде әлі дәлелденбеген) және қазір дәлелденген эпсилон болжамының (қазір Рибет теоремасы деп аталады) Ферманың соңғы теоремасын білдіретінін көрсетті. Демек, Танияма–Шимура болжамы жартылай тұрақты эллипстік қисықтар үшін дұрыс болса, Ферманың соңғы теоремасы да дұрыс болады. Алайда, бұл теориялық тәсілтің қол жеткізуі қиын деп есептелді, өйткені Танияма–Шимура болжамының өзі қазіргі біліммен дәлелдеуге мүмкін емес сияқты көрінетін. Мысалы, Уайлстың бұрынғы жетекшісі Джон Коутс бұл "дәлелдеуге мүмкін емес" деп мәлімдеді, ал Кен Рибет өзін "осы болжамды дәлелдеуге болмайды деп сенетін көпшіліктің бірі" деп есептеді. 1986 жылы эпсилон болжамының дәлелденгенін естіген Уайлс Танияма–Шимура болжамын дәлелдеуге қатысты зерттеулерді бастауға шешім қабылдады. Кейінірек Рибет былай деді: "Эндрю Уайлс, мүмкін, жер бетіндегі осы болжамды дәлелдеуге болатынына армандаған аздаған адамдардың бірі болды". Алайда, 1993 жылдың қыркүйегінде дәлелдемеде қателік бар екені анықталды. Бір жылдан кейін, 1994 жылдың 19 қыркүйегінде, дүйсенбі күні, ол "өміріндегі ең маңызды сәт" деп атаған кезде, Уайлс "өте әдемі, өте қарапайым және өте сәнді" аянға тап болды, бұл оған математикалық қауымның қанағаттануына жеткілікті дәлелді түзетуге мүмкіндік берді. Дұрыс дәлелдеме 1995 жылдың мамыр айында жарияланды. Дәлелдеме алгебралық геометрия мен сандар теориясының көптеген әдістерін қолданады және осы математика салаларында маңызды салдарларға ие. Сондай-ақ, ол схемалар санаты және Ивасава теориясы сияқты қазіргі алгебралық геометрияның стандартты құрылымдарын, сондай-ақ Фермаға қолжетімсіз болған 20 ғасырдың басқа да әдістерін пайдаланады.
Such an elliptic curve would enjoy very special properties, which are due to the appearance of high powers of integers in its equation and the fact that an + bn = cn is an nth power as well. In the summer of 1986, Ken Ribet demonstrated that, just as Gerhard Frey had anticipated, a special case of the Taniyama–Shimura conjecture (still not proved at the time), together with the now proved epsilon conjecture (now called Ribet's theorem), implies Fermat's Last Theorem. Thus, if the Taniyama–Shimura conjecture is true for semistable elliptic curves, then Fermat's Last Theorem would be true. However this theoretical approach was widely considered unattainable, since the Taniyama–Shimura conjecture was itself widely seen as completely inaccessible to proof with current knowledge. For example, Wiles' ex supervisor John Coates states that it seemed "impossible to actually prove", and Ken Ribet considered himself "one of the vast majority of people who believed [it] was completely inaccessible". Hearing of the 1986 proof of the epsilon conjecture, Wiles decided to begin researching exclusively towards a proof of the Taniyama–Shimura conjecture. Ribet later commented that "Andrew Wiles was probably one of the few people on earth who had the audacity to dream that you can actually go and prove [it]." However, the proof was found to contain an error in September 1993. One year later, on Monday September 19, 1994, in what he would call "the most important moment of [his] working life," Wiles stumbled upon a revelation, "so indescribably beautiful so simple and so elegant," that allowed him to correct the proof to the satisfaction of the mathematical community. The correct proof was published in May 1995. The proof uses many techniques from algebraic geometry and number theory, and has many ramifications in these branches of mathematics. It also uses standard constructions of modern algebraic geometry, such as the category of schemes and Iwasawa theory, and other 20th century techniques not available to Fermat.