Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Модульная эллиптическая кривая — это эллиптическая кривая E, для которой существует параметризация модульной кривой X0(N) → E. Это отличается от модульной кривой, которая случайно оказывается эллиптической, что можно было бы назвать эллиптической модульной кривой. Теорема модулярности, также известная как гипотеза Таниямы — Шимуры, утверждает, что любая эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел, является модулярной.
A modular elliptic curve is an elliptic curve E that admits a parametrisation X0(N) → E by a modular curve. This is not the same as a modular curve that happens to be an elliptic curve, something that could be called an elliptic modular curve. The modularity theorem, also known as the Taniyama–Shimura conjecture, asserts that every elliptic curve defined over the rational numbers is modular.
История и значение
В 1950-х и 1960-х годах японский математик Горо Шимура предположил связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами, основываясь на идеях, выдвинутых Ютакой Таниямой. На Западе эта связь стала широко известна благодаря статье Андре Вейля 1967 года. Учитывая, что Вейл предоставил концептуальные аргументы в её поддержку, её иногда называют гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля. Она утверждает, что каждая рациональная эллиптическая кривая является модулярной. Параллельно, в конце 1960-х годов, Ив Хельгегуар предложил идею сопоставления решений (a, b, c) уравнения Ферма с совершенно иным математическим объектом: эллиптической кривой. Эта кривая состоит из всех точек на плоскости, координаты которых (x, y) удовлетворяют соотношению.
In the 1950s and 1960s a connection between elliptic curves and modular forms was conjectured by the Japanese mathematician Goro Shimura based on ideas posed by Yutaka Taniyama. In the West it became well known through a 1967 paper by André Weil. With Weil giving conceptual evidence for it, it is sometimes called the Taniyama–Shimura–Weil conjecture. It states that every rational elliptic curve is modular. On a separate branch of development, in the late 1960s, Yves Hellegouarch came up with the idea of associating solutions (a,b,c) of Fermat's equation with a completely different mathematical object: an elliptic curve. The curve consists of all points in the plane whose coordinates (x, y) satisfy the relation
Такая эллиптическая кривая обладает очень специфическими свойствами, обусловленными появлением высоких степеней целых чисел в её уравнении и тем фактом, что aⁿ + bⁿ = cⁿ также является n-й степенью. Летом 1986 года Кен Рибет показал, что, как и предвидел Герхард Фрей, частный случай гипотезы Таниямы — Шимуры (на тот момент ещё не доказанный), вместе с уже доказанной эпсилон-гипотезой (теперь известной как теорема Рибета), влечёт за собой последнюю теорему Ферма. Таким образом, если гипотеза Таниямы — Шимуры верна для полустабильных эллиптических кривых, то верна и последняя теорема Ферма. Однако этот теоретический подход широко считался недостижимым, поскольку сама гипотеза Таниямы — Шимуры казалась большинству математиков совершенно недоказуемой с использованием современных знаний. Например, научный руководитель Уайлса, Джон Коутс, говорил, что её доказательство представляется «невозможным», а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые полагали, что она совершенно недоступна». Узнав о доказательстве эпсилон-гипотезы в 1986 году, Уайлс решил посвятить свои исследования исключительно доказательству гипотезы Таниямы — Шимуры. Позже Рибет заметил, что «Эндрю Уайлс, вероятно, был одним из немногих людей на Земле, осмелившихся мечтать о том, что можно действительно её доказать». Однако в сентябре 1993 года в доказательстве была обнаружена ошибка. Год спустя, в понедельник, 19 сентября 1994 года, в момент, который он назвал «самым важным в своей профессиональной жизни», Уайлс неожиданно пришёл к озарению — «такому невыразимо красивому, такому простому и такому элегантному», — которое позволило ему исправить доказательство и удовлетворить математическое сообщество. Правильное доказательство было опубликовано в мае 1995 года. В доказательстве используются многочисленные методы алгебраической геометрии и теории чисел, а также имеет множество следствий в этих областях математики. Оно также опирается на стандартные построения современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, и другие методы XX века, недоступные Ферма.
Such an elliptic curve would enjoy very special properties, which are due to the appearance of high powers of integers in its equation and the fact that an + bn = cn is an nth power as well. In the summer of 1986, Ken Ribet demonstrated that, just as Gerhard Frey had anticipated, a special case of the Taniyama–Shimura conjecture (still not proved at the time), together with the now proved epsilon conjecture (now called Ribet's theorem), implies Fermat's Last Theorem. Thus, if the Taniyama–Shimura conjecture is true for semistable elliptic curves, then Fermat's Last Theorem would be true. However this theoretical approach was widely considered unattainable, since the Taniyama–Shimura conjecture was itself widely seen as completely inaccessible to proof with current knowledge. For example, Wiles' ex supervisor John Coates states that it seemed "impossible to actually prove", and Ken Ribet considered himself "one of the vast majority of people who believed [it] was completely inaccessible". Hearing of the 1986 proof of the epsilon conjecture, Wiles decided to begin researching exclusively towards a proof of the Taniyama–Shimura conjecture. Ribet later commented that "Andrew Wiles was probably one of the few people on earth who had the audacity to dream that you can actually go and prove [it]." However, the proof was found to contain an error in September 1993. One year later, on Monday September 19, 1994, in what he would call "the most important moment of [his] working life," Wiles stumbled upon a revelation, "so indescribably beautiful so simple and so elegant," that allowed him to correct the proof to the satisfaction of the mathematical community. The correct proof was published in May 1995. The proof uses many techniques from algebraic geometry and number theory, and has many ramifications in these branches of mathematics. It also uses standard constructions of modern algebraic geometry, such as the category of schemes and Iwasawa theory, and other 20th century techniques not available to Fermat.