Кіріспе
Римандық сан алуандықтар арасындағы гармоникалық бейнелеулер Дифференциалдық геометрияның математикалық саласында, Римандық сан алуандықтар арасындағы тегіс бейнелеу, егер оның координаттық өкілдері белгілі бір сызықтық емес дербес дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырса, гармоникалық деп аталады. Бейнелеу үшін бұл дербес дифференциалдық теңдеу Дирихле энергиясы деп аталатын функционалдың Эйлер-Лагранж теңдеуі ретінде де туындайды. Осылайша, гармоникалық бейнелеулер теориясы Римандық геометриядағы бірлік жылдамдықты геодезиялар теориясымен және гармоникалық функциялар теориясымен байланысты. Формальды емес тұрғыдан алғанда, Римандық сан алуандық M-ден Римандық сан алуандық N-ге жүзеге асырылатын f бейнелеуінің Дирихле энергиясы f-тің M-нің әр элементін N нүктесіне бөлуде M-ді созудың жалпы мөлшері ретінде қарастырылуы мүмкін. Мысалы, созылмаған резеңке лента мен тегіс тас екеуін де Римандық сан алуандықтар ретінде қарастыруға болады. Резеңке лентаны тастың үстінен созудың кез келген тәсілін осы сан алуандықтар арасындағы бейнелеу ретінде қарастыруға болады, ал созудың жалпы кернеуі Дирихле энергиясымен бейнеленеді. Мұндай бейнелеудің гармоникалық болуы дегеніміз, берілген созуды физикалық түрде деформациялаудың кез келген гипотетикалық тәсілі берілген кезде, кернеу (уақыттың функциясы ретінде қарастырылғанда) деформация басталғанда бірінші туындысы нөлге тең болады. Гармоникалық бейнелеулер теориясын 1964 жылы Джеймс Элс және Джозеф Сэмпсон бастады, олар белгілі бір геометриялық контексттерде кездейсоқ бейнелеулерді гармоникалық бейнелеулерге деформациялауға болатынын көрсетті. Олардың жұмысы Ричард Гамильтонның Риччи ағыны туралы алғашқы жұмысына шабыт берді. Гармоникалық бейнелеулер және олармен байланысты гармоникалық бейнелеулердің жылу ағыны геометриялық талдау саласындағы ең көп зерттелген тақырыптардың бірі болып табылады. Джонатан Сакс пен Карен Уленбектің гармоникалық бейнелеулер тізбектерінің "көпіршіктенуін" ашуы ерекше ықпалды болды, өйткені олардың талдауы көптеген басқа геометриялық контексттерге бейімделді. Атап айтқанда, Уленбектің Янг-Миллс өрістерінің көпіршіктенуін параллель түрде ашуы Саймон Дональдсонның төрт өлшемді сан алуандықтардағы жұмысында маңызды рөл атқарады, ал Михаэль Громовтың псевдоголоморфтық қисықтардың көпіршіктенуін ашуы симплектикалық геометрия және кванттық когомология салаларындағы қолданыстарда маңызды. Ричард Шоен мен Уленбектің гармоникалық бейнелеулердің тұрақтылық теориясын зерттеу үшін қолданған әдістері геометриялық талдаудағы көптеген талдамалық әдістердің дамуына да ықпал етті.
In the mathematical field of differential geometry, a smooth map between Riemannian manifolds is called harmonic if its coordinate representatives satisfy a certain nonlinear partial differential equation. This partial differential equation for a mapping also arises as the Euler Lagrange equation of a functional called the Dirichlet energy. As such, the theory of harmonic maps contains both the theory of unit speed geodesics in Riemannian geometry and the theory of harmonic functions. Informally, the Dirichlet energy of a mapping f from a Riemannian manifold M to a Riemannian manifold N can be thought of as the total amount that f stretches M in allocating each of its elements to a point of N. For instance, an unstretched rubber band and a smooth stone can both be naturally viewed as Riemannian manifolds. Any way of stretching the rubber band over the stone can be viewed as a mapping between these manifolds, and the total tension involved is represented by the Dirichlet energy. Harmonicity of such a mapping means that, given any hypothetical way of physically deforming the given stretch, the tension (when considered as a function of time) has first derivative equal to zero when the deformation begins. The theory of harmonic maps was initiated in 1964 by James Eells and Joseph Sampson, who showed that in certain geometric contexts, arbitrary maps could be deformed into harmonic maps. Their work was the inspiration for Richard Hamilton's initial work on the Ricci flow. Harmonic maps and the associated harmonic map heat flow, in and of themselves, are among the most widely studied topics in the field of geometric analysis. The discovery of the "bubbling" of sequences of harmonic maps, due to Jonathan Sacks and Karen Uhlenbeck, has been particularly influential, as their analysis has been adapted to many other geometric contexts. Notably, Uhlenbeck's parallel discovery of bubbling of Yang–Mills fields is important in Simon Donaldson's work on four dimensional manifolds, and Mikhael Gromov's later discovery of bubbling of pseudoholomorphic curves is significant in applications to symplectic geometry and quantum cohomology. The techniques used by Richard Schoen and Uhlenbeck to study the regularity theory of harmonic maps have likewise been the inspiration for the development of many analytic methods in geometric analysis.
Манифолдтар арасындағы сәйкестендірулердің геометриясы
Мұнда Римандық көптүрліліктер арасындағы тегіс бейнелеудің геометриясы жергілікті координаттар арқылы және, балама ретінде, сызықтық алгебра арқылы қарастырылады. Мұндай бейнелеу бірінші негізгі форманы да, екінші негізгі форманы да анықтайды. Лапласиан (сондай-ақ кернеу өрісі деп аталады) екінші негізгі форма арқылы анықталады, ал оның нөлге теңесуі бейнелеудің гармониялық болу шарты болып табылады. Анықтамалар псевдо-Римандық көптүрліліктерге өзгеріссіз қолданылады.
Құрамдық формализм
(M, g) және (N, h) Римандық көптемелер болсын. M-ден N-ге дейінгі f тегіс бейнелеу берілгенде, оның дифференциалы df-ін T^( *)M ⊗ f^( *)TN векторлық шоғырының M-ге дейінгі қимасы ретінде қарастыруға болады; яғни, M-дегі әрбір p үшін, dfp сызықтық бейнелеуі TpM → Tf(p)N тангенциалдық кеңістіктер арасында анықталады. T^( *)M ⊗ f^( *)TN векторлық шоғыры M және N-дегі Леви-Чивита байланыстарынан туындаған байланысқа ие. Сондықтан, df-тің ковариантты туындысын ∇(df) алуға болады, ол T^( *)M ⊗ T^( *)M ⊗ f^( *)TN векторлық шоғырының M-ге дейінгі қимасы болып табылады; яғни, M-дегі әрбір p үшін, (∇(df))p екі сызықтық бейнелеуі TpM × TpM → Tf(p)N болады. Бұл қима f-тың гессианы деп аталады.
g-ні пайдаланып, f-тың гессианын іздеу арқылы f-тың лапласианын алуға болады, ол f^( *)TN шоғырының M-ге дейінгі қимасы болып табылады; яғни, лапласиан f-қа M-дегі әрбір p үшін Tf(p)N тангенциалдық кеңістігінің бір элементін сәйкестендіреді. Із операторының анықтамасы бойынша, лапласианды былай жазуға болады:
мұнда e1, ..., em – TpM-нің кез келген ортонормалды базасы.
Гармониялық карталардың мысалдары
(M, g) және (N, h) тегіс Римандық көптіктер болсын. gstan белгісі Евклид кеңістігіндегі стандартты Риман метрикасын білдіру үшін қолданылады. Кез келген толығымен геодезиялық бейнелеу (M, g) → (N, h) гармоникалық болады; бұл жоғарыдағы анықтамалардан тікелей шығады. Арнайы жағдайларда: N-дегі кез келген q үшін, q мәніндегі тұрақты бейнелеу (M, g) → (N, h) гармоникалық. (M, g) → (M, g) сәйкестік бейнелеуі гармоникалық. Егер f : M → N суға бату болса, онда f : (M, f^( *) h) → (N, h) гармоникалық болады, егер және тек қана f, h-ға қатысты минималды болса. Арнайы жағдай ретінде: Егер f : ℝ → (N, h) тұрақты жылдамдықтағы суға бату болса, онда f : (ℝ, gstan) → (N, h) гармоникалық болады, егер және тек қана f геодезиялық дифференциалдық теңдеуді шешсе. Естеріңізге сала кетейік, егер M бір өлшемді болса, онда f-тің минималдығы f-дің геодезиялық болуымен тең, бірақ бұл оның тұрақты жылдамдықпен параметрленгенін білдірмейді, демек f геодезиялық дифференциалдық теңдеуді шешеді деп те айтуға болмайды. F : (M, g) → (ℝ^(n), gstan) тегіс бейнелеуі, егер және тек қана оның n компоненттік функцияларының әрқайсысы (M, g) → (ℝ, gstan) бейнелеуі ретінде гармоникалық болса, ғана гармоникалық болады. Бұл Лаплас-Бельтрами операторымен берілген гармоникалық ұғымымен сәйкес келеді. Кэйлер көптіктері арасындағы кез келген голоморфты бейнелеу гармоникалық болады. Римандық көптіктер арасындағы кез келген гармоникалық морфизм гармоникалық болады.
For any q in N, the constant map (M, g) → (N, h) valued at q is harmonic. The identity map (M, g) → (M, g) is harmonic. If f : M → N is an immersion, then f : (M, f^( *)h) → (N, h) is harmonic if and only if f is minimal relative to h. As a special case:
If f : ℝ → (N, h) is a constant speed immersion, then f : (ℝ, gstan) → (N, h) is harmonic if and only if f solves the geodesic differential equation. Recall that if M is one dimensional, then minimality of f is equivalent to f being geodesic, although this does not imply that it is a constant speed parametrization, and hence does not imply that f solves the geodesic differential equation. A smooth map f : (M, g) → (ℝ^(n), gstan) is harmonic if and only if each of its n component functions are harmonic as maps (M, g) → (ℝ, gstan). This coincides with the notion of harmonicity provided by the Laplace Beltrami operator. Every holomorphic map between Kähler manifolds is harmonic. Every harmonic morphism between Riemannian manifolds is harmonic.
Ерекшеліктер мен әлсіз шешімдер
Элс пен Сэмпсонның жұмысынан кейін көп жылдар бойы (N, h) бойынша қима қисықтығы туралы болжамның қажеттілігі қаншалықты екені белгісіз болды. 1992 жылы Кунг Чин Чан, Вэй Юэ Дин және Руганг Йе жүргізген зерттеулерден кейін, гармоникалық картаның жылу ағынының максималды уақыты "әдетте" шексіз болмайды деген консенсусқа келді. Олардың нәтижелері (M, g) және (N, h) екеуі де стандартты метрикасы бар екі өлшемді сфера ретінде қарастырылғанда да, "шекті уақытта жарылыс" болатын гармоникалық карта жылу ағындары бар екенін күшті түрде көрсетеді. Эллиптік және параболалық дербес дифференциалдық теңдеулер домен екі өлшемді болғанда ерекше тегіс болатындықтан, Чан-Динг-Е нәтижесі ағынның жалпы сипаттамасын көрсетеді деп есептеледі. Сакс пен Уленбектің негізгі жұмыстарына сүйене отырып, Майкл Струу (N, h) бойынша геометриялық болжамдар жасалмаған жағдайды қарастырды. M екі өлшемді болған жағдайда, ол гармоникалық карта жылу ағынының әлсіз шешімдерінің бар екенін және бірегей екенін дәлелдеді. Сонымен қатар, ол өзінің әлсіз шешімдері энергия тығыздығы шоғырланған уақыт-кеңістіктегі шектеулі нүктелерден басқа жерде тегіс екенін анықтады. Микроскопиялық деңгейде, осы нүктелер маңындағы ағын көпіршік моделімен сипатталады, яғни дөңгелек 2 сферадан нысанаға дейінгі тегіс гармоникалық карта. Вейюэ Дин және Ганг Тянь ерекше уақыттағы энергия квантталуын дәлелдеуге қол жеткізді, яғни Струудің әлсіз шешімінің Дирихле энергиясы ерекше уақытта сол уақыттағы ерекшеліктерге сәйкес келетін көпіршіктердің Дирихле энергиясының қосындысына тең төмендейді. Кейін Струу өзінің әдістерін жоғары өлшемдерге бейімдеді, егер домендік кеңістік Евклид кеңістігі болса; ол және Юн Мей Чен жоғары өлшемді жабық кеңістіктерді де қарастырды. Олардың нәтижелері төмен өлшемдердегіден нашар болды, тек ашық тығыз жиынтықтарда тегіс болатын әлсіз шешімдердің бар екенін ғана дәлелдеуге мүмкіндік берді.
Бохнер формуласы және тұтқырлық
Эелс пен Сэмпсон теоремасының дәлеліндегі негізгі есептеу нүктесі Бохнер формуласын гармоникалық картаның жылу ағыны { ft: 0 < t < T } жағдайына бейімделу болып табылады. Бұл формула мынаны айтады:
This is also of interest in analyzing harmonic maps. Suppose f : M → N is harmonic; any harmonic map can be viewed as a constant in t solution of the harmonic map heat flow, and so one gets from the above formula that
If the Ricci curvature of g is positive and the sectional curvature of h is nonpositive, then this implies that ∆e(f) is nonnegative. If M is closed, then multiplication by e(f) and a single integration by parts shows that e(f) must be constant, and hence zero; hence f must itself be constant. Richard Schoen and Shing Tung Yau noted that this reasoning can be extended to noncompact M by making use of Yau's theorem asserting that nonnegative subharmonic functions which are L^(2) bounded must be constant. In summary, according to these results, one has:
In combination with the Eells−Sampson theorem, this shows (for instance) that if (M, g) is a closed Riemannian manifold with positive Ricci curvature and (N, h) is a closed Riemannian manifold with nonpositive sectional curvature, then every continuous map from M to N is homotopic to a constant. The general idea of deforming a general map to a harmonic map, and then showing that any such harmonic map must automatically be of a highly restricted class, has found many applications. For instance, Yum Tong Siu found an important complex analytic version of the Bochner formula, asserting that a harmonic map between Kähler manifolds must be holomorphic, provided that the target manifold has appropriately negative curvature. As an application, by making use of the Eells−Sampson existence theorem for harmonic maps, he was able to show that if (M, g) and (N, h) are smooth and closed Kähler manifolds, and if the curvature of (N, h) is appropriately negative, then M and N must be biholomorphic or anti biholomorphic if they are homotopic to each other; the biholomorphism (or anti biholomorphism) is precisely the harmonic map produced as the limit of the harmonic map heat flow with initial data given by the homotopy. By an alternative formulation of the same approach, Siu was able to prove a variant of the still unsolved Hodge conjecture, albeit in the restricted context of negative curvature. Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups. Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space. By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.
Бұл гармоникалық карталарды талдау үшін де қызығушылық тудырады. Егер f : M → N гармоникалық болса; кез келген гармоникалық картаны гармоникалық картаның жылу ағынының t бойынша тұрақты шешірімі ретінде қарастыруға болады, сондықтан жоғарыдағы формуладан g-нің Риччи қисықтығы оң болса және h-нің қима қисықтығы оң емес болса, онда ∆e(f) теріс емес екені шығады. Егер M жабық болса, онда e(f) еселеп және бір рет интегралдау арқылы e(f) тұрақты болуы керек, демек нөлге тең болуы керек; сондықтан f өзі тұрақты болуы керек. Ричард Шоен мен Шинг Тунг Яу осы ойды Яу теоремасын пайдаланып, L^(2) шектелген теріс емес субгармониялық функциялар тұрақты болуы керек деп атап өтті. Қорыта айтқанда, осы нәтижелерге сәйкес:
This is also of interest in analyzing harmonic maps. Suppose f : M → N is harmonic; any harmonic map can be viewed as a constant in t solution of the harmonic map heat flow, and so one gets from the above formula that
If the Ricci curvature of g is positive and the sectional curvature of h is nonpositive, then this implies that ∆e(f) is nonnegative. If M is closed, then multiplication by e(f) and a single integration by parts shows that e(f) must be constant, and hence zero; hence f must itself be constant. Richard Schoen and Shing Tung Yau noted that this reasoning can be extended to noncompact M by making use of Yau's theorem asserting that nonnegative subharmonic functions which are L^(2) bounded must be constant. In summary, according to these results, one has:
In combination with the Eells−Sampson theorem, this shows (for instance) that if (M, g) is a closed Riemannian manifold with positive Ricci curvature and (N, h) is a closed Riemannian manifold with nonpositive sectional curvature, then every continuous map from M to N is homotopic to a constant. The general idea of deforming a general map to a harmonic map, and then showing that any such harmonic map must automatically be of a highly restricted class, has found many applications. For instance, Yum Tong Siu found an important complex analytic version of the Bochner formula, asserting that a harmonic map between Kähler manifolds must be holomorphic, provided that the target manifold has appropriately negative curvature. As an application, by making use of the Eells−Sampson existence theorem for harmonic maps, he was able to show that if (M, g) and (N, h) are smooth and closed Kähler manifolds, and if the curvature of (N, h) is appropriately negative, then M and N must be biholomorphic or anti biholomorphic if they are homotopic to each other; the biholomorphism (or anti biholomorphism) is precisely the harmonic map produced as the limit of the harmonic map heat flow with initial data given by the homotopy. By an alternative formulation of the same approach, Siu was able to prove a variant of the still unsolved Hodge conjecture, albeit in the restricted context of negative curvature. Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups. Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space. By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.
Эелс-Сэмпсон теоремасымен бірге, бұл мысалы, егер (M, g) оң Риччи қисықтығы бар жабық Риманн көптүрлігі болса және (N, h) оң емес қималық қисықтығы бар жабық Риманн көптүрлігі болса, онда M-ден N-ге дейінгі кез келген үздіксіз карта тұрақтыға гомотопты болады. Жалпы картаны гармоникалық картаға деформациялау және кез келген мұндай гармоникалық карта автоматты түрде өте шектеулі классқа жататындығын көрсету идеясы көптеген қолданыстар тапты. Мысалы, Юм Тонг Сиу Бохнер формуласының маңызды күрделі аналитикалық нұсқасын тапты, ол Келер көптүрліліктері арасындағы гармоникалық картаның голморфты болуын, егер мақсатты көптүрліліктің тиісінше теріс қисықтығы болса, көрсетеді. Қолданыс ретінде, гармоникалық карталар үшін Эелс-Сэмпсонның болу теоремасын пайдаланып, ол (M, g) және (N, h) тегіс және жабық Кэхлер көптүрліліктері болса және (N, h) қисықтығы тиісінше теріс болса, онда M және N гомотопты болған жағдайда биголоморфты немесе антибиголоморфты болуы керек екенін көрсетті; биголоморфизм (немесе антибиголоморфизм) - бұл гомотопиямен берілген бастапқы деректермен гармоникалық жылу картасы ағынының шегі ретінде алынған гармоникалық карта. Осы тәсілдің баламалы тұжырымы арқылы Сиу әлі де шешілмеген Ходж болжамының нұсқасын дәлелдей алды, бірақ теріс қисықтың шектеулі жағдайында. Кевин Корлетт Сиудің Бохнер формуласының маңызды кеңеюін тапты және оны белгілі бір Lie топтарында торлар үшін жаңа қаттылық теоремаларын дәлелдеу үшін пайдаланды. Содан кейін Михаэль Громов пен Ричард Шоен гармоникалық карталар теориясының көп бөлігін кеңейтіп, (N, h) метрикалық кеңістікпен алмастырылуына мүмкіндік берді. Эелс-Сэмпсон теоремасының кеңеюімен және Сиу-Корлетт Бохнер формуласының кеңеюімен олар торлар үшін жаңа қаттылық теоремаларын дәлелдеуге қабілетті болды.
This is also of interest in analyzing harmonic maps. Suppose f : M → N is harmonic; any harmonic map can be viewed as a constant in t solution of the harmonic map heat flow, and so one gets from the above formula that
If the Ricci curvature of g is positive and the sectional curvature of h is nonpositive, then this implies that ∆e(f) is nonnegative. If M is closed, then multiplication by e(f) and a single integration by parts shows that e(f) must be constant, and hence zero; hence f must itself be constant. Richard Schoen and Shing Tung Yau noted that this reasoning can be extended to noncompact M by making use of Yau's theorem asserting that nonnegative subharmonic functions which are L^(2) bounded must be constant. In summary, according to these results, one has:
In combination with the Eells−Sampson theorem, this shows (for instance) that if (M, g) is a closed Riemannian manifold with positive Ricci curvature and (N, h) is a closed Riemannian manifold with nonpositive sectional curvature, then every continuous map from M to N is homotopic to a constant. The general idea of deforming a general map to a harmonic map, and then showing that any such harmonic map must automatically be of a highly restricted class, has found many applications. For instance, Yum Tong Siu found an important complex analytic version of the Bochner formula, asserting that a harmonic map between Kähler manifolds must be holomorphic, provided that the target manifold has appropriately negative curvature. As an application, by making use of the Eells−Sampson existence theorem for harmonic maps, he was able to show that if (M, g) and (N, h) are smooth and closed Kähler manifolds, and if the curvature of (N, h) is appropriately negative, then M and N must be biholomorphic or anti biholomorphic if they are homotopic to each other; the biholomorphism (or anti biholomorphism) is precisely the harmonic map produced as the limit of the harmonic map heat flow with initial data given by the homotopy. By an alternative formulation of the same approach, Siu was able to prove a variant of the still unsolved Hodge conjecture, albeit in the restricted context of negative curvature. Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups. Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space. By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.
Проблемалар мен қолдану
Коллекторлар арасындағы гармоникалық карталардың болу нәтижелері олардың қисықтығына әсер етеді. Бар екені белгілі болған соң, гармоникалық картаны қалай нақты құруға болады? (Бір жемісті әдіс – твистор теориясын қолдану.) Теориялық физикада, қимылы Дирихле энергиясымен берілген кванттық өріс теориясы сигма-модель деп аталады. Мұндай теорияда гармоникалық карталар инстантондарға сәйкес келеді. Есептеу сұйықтық динамикасы және есептеу физикасы үшін желілік генерация әдістерінің бастапқы идеяларының бірі – реттелген желілерді жасау үшін конформды немесе гармоникалық бейнелеуді пайдалану болды.
Метрик кеңістіктер арасындағы гармониялық карталар
Энергиялық интеграл екі метрикалық кеңістік арасындағы u: M → N функциялары үшін нашарлама жағдайда формулироваться болады. Энергия интегралының функциясы келесі түрде болады:
мұнда μ – M-нің әрбір нүктесіне байланысты өлшемдер жиыны.