Гармонические отображения между римановыми многообразиями

Введение

В математической области дифференциальной геометрии гладкое отображение между римановыми многообразиями называется гармоническим, если его координатные представления удовлетворяют определенному нелинейному частному дифференциальному уравнению. Это частное дифференциальное уравнение для отображения также возникает как уравнение Эйлера — Лагранжа функционала, называемого энергией Дирихле. Таким образом, теория гармонических отображений включает в себя как теорию геодезических единичной скорости в римановой геометрии, так и теорию гармонических функций. Неформально, энергия Дирихле отображения f из риманова многообразия M в риманово многообразие N может рассматриваться как общая величина, на которую f растягивает M при сопоставлении каждого из его элементов точке N. Например, нерастянутая резиновая лента и гладкий камень могут быть естественно рассмотрены как римановы многообразия. Любой способ растяжения резиновой ленты поверх камня можно рассматривать как отображение между этими многообразиями, а общее напряжение, возникающее при этом, представляется энергией Дирихле. Гармоничность такого отображения означает, что, учитывая любой гипотетический способ физической деформации данного растяжения, напряжение (рассматриваемое как функция времени) имеет первую производную, равную нулю, в момент начала деформации. Теория гармонических отображений была инициирована в 1964 году Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, которые показали, что в определенных геометрических контекстах произвольные отображения могут быть деформированы в гармонические отображения. Их работа послужила вдохновением для ранних работ Ричарда Гамильтона по потоку Риччи. Гармонические отображения и связанный с ними тепловой поток гармонических отображений сами по себе являются одними из наиболее широко изучаемых тем в области геометрического анализа. Открытие "пузырьков" в последовательностях гармонических отображений, благодаря Джонатану Саксу и Карен Уленбек, оказало особенно большое влияние, поскольку их анализ был адаптирован ко многим другим геометрическим контекстам. Важно отметить, что параллельное открытие Уленбек пузырьков полей Янга — Миллса имеет значение в работах Саймона Дональдсона по четырехмерным многообразиям, а более позднее открытие Михаэлем Громовым пузырьков псевдоголоморфных кривых важно в приложениях к симплектической геометрии и квантовой когомологии. Методы, использованные Ричардом Шоуном и Уленбек для изучения теории регулярности гармонических отображений, также послужили вдохновением для разработки многих аналитических методов в геометрическом анализе.

In the mathematical field of differential geometry, a smooth map between Riemannian manifolds is called harmonic if its coordinate representatives satisfy a certain nonlinear partial differential equation. This partial differential equation for a mapping also arises as the Euler Lagrange equation of a functional called the Dirichlet energy. As such, the theory of harmonic maps contains both the theory of unit speed geodesics in Riemannian geometry and the theory of harmonic functions. Informally, the Dirichlet energy of a mapping f from a Riemannian manifold M to a Riemannian manifold N can be thought of as the total amount that f stretches M in allocating each of its elements to a point of N. For instance, an unstretched rubber band and a smooth stone can both be naturally viewed as Riemannian manifolds. Any way of stretching the rubber band over the stone can be viewed as a mapping between these manifolds, and the total tension involved is represented by the Dirichlet energy. Harmonicity of such a mapping means that, given any hypothetical way of physically deforming the given stretch, the tension (when considered as a function of time) has first derivative equal to zero when the deformation begins. The theory of harmonic maps was initiated in 1964 by James Eells and Joseph Sampson, who showed that in certain geometric contexts, arbitrary maps could be deformed into harmonic maps. Their work was the inspiration for Richard Hamilton's initial work on the Ricci flow. Harmonic maps and the associated harmonic map heat flow, in and of themselves, are among the most widely studied topics in the field of geometric analysis. The discovery of the "bubbling" of sequences of harmonic maps, due to Jonathan Sacks and Karen Uhlenbeck, has been particularly influential, as their analysis has been adapted to many other geometric contexts. Notably, Uhlenbeck's parallel discovery of bubbling of Yang–Mills fields is important in Simon Donaldson's work on four dimensional manifolds, and Mikhael Gromov's later discovery of bubbling of pseudoholomorphic curves is significant in applications to symplectic geometry and quantum cohomology. The techniques used by Richard Schoen and Uhlenbeck to study the regularity theory of harmonic maps have likewise been the inspiration for the development of many analytic methods in geometric analysis.

Геометрия соотношений между коллекторами

Здесь геометрия гладкого отображения между римановыми многообразиями рассматривается с помощью локальных координат и, эквивалентно, посредством линейной алгебры. Такое отображение определяет первую и вторую фундаментальные формы. Лапласиан (также называемый полем натяжения) определяется через вторую фундаментальную форму, и его обращение в ноль является условием гармоничности отображения. Определения без изменений переносятся на случай псевдоримановых многообразий.

Формализм пакетов

Пусть (M, g) и (N, h) — римановы многообразия. Для гладкого отображения f: M → N можно рассматривать его дифференциал df как сечение векторного расслоения T*(M) ⊗ f*(TN) над M; то есть для каждой точки p ∈ M существует линейное отображение dfp между касательными пространствами TpM → Tf(p)N. Векторное расслоение T*(M) ⊗ f*(TN) имеет связность, индуцированную связностями Леви-Чивиты на M и N. Следовательно, можно взять ковариантную производную ∇(df), которая является сечением векторного расслоения T*(M) ⊗ T*(M) ⊗ f*(TN) над M; то есть для каждой точки p ∈ M существует билинейное отображение (∇(df))p из касательного пространства TpM × TpM → Tf(p)N. Это сечение известно как гессиан отображения f.

Используя g, можно проследить гессиан f, чтобы получить лапласиан f, который является сечением расслоения f*(TN) над M; это означает, что лапласиан f сопоставляет каждой точке p ∈ M элемент касательного пространства Tf(p)N. По определению оператора следа, лапласиан можно записать как

где e1, ..., em — любой ортонормированный базис TpM.

Примеры гармонических карт

Пусть (M, g) и (N, h) — гладкие римановы многообразия. Обозначение gstan используется для стандартной римановой метрики на евклидовом пространстве. Любое полностью геодезическое отображение (M, g) → (N, h) является гармоническим; это следует непосредственно из вышеприведенных определений. В качестве частных случаев:
Для любой точки q в N постоянное отображение (M, g) → (N, h), принимающее значение q, является гармоническим. Отображение тождества (M, g) → (M, g) является гармоническим. Если f : M → N — погружение, то f : (M, f*h) → (N, h) является гармоническим тогда и только тогда, когда f минимально относительно h. В качестве частного случая:
Если f : ℝ → (N, h) — погружение с постоянной скоростью, то f : (ℝ, gstan) → (N, h) является гармоническим тогда и только тогда, когда f удовлетворяет геодезическому дифференциальному уравнению. Напомним, что если M одномерно, то минимальность f эквивалентна тому, что f является геодезической, хотя это не подразумевает, что это параметризация с постоянной скоростью, и, следовательно, не подразумевает, что f удовлетворяет геодезическому дифференциальному уравнению. Гладкое отображение f : (M, g) → (ℝⁿ, gstan) является гармоническим тогда и только тогда, когда каждая из его n компонентных функций является гармонической как отображение (M, g) → (ℝ, gstan). Это совпадает с понятием гармоничности, задаваемым оператором Лапласа — Бельтрами. Любое голоморфное отображение между келеровыми многообразиями является гармоническим. Любой гармонический морфизм между римановыми многообразиями является гармоническим.

Сингулярности и слабые решения

В течение многих лет после работ Эллса и Сэмпсона оставалось неясным, насколько необходимо предположение об осевой кривизне на (N, h). После работ Кун Чин Чжана, Вэй Юэ Дина и Ругана Е в 1992 году стало общепринятым, что максимальное время существования гармонического теплового потока карты не может "обычно" быть бесконечным. Их результаты убедительно свидетельствуют о том, что существуют гармонические тепловые потоки с "взрывом за конечное время", даже когда и (M, g) и (N, h) принимаются за двумерную сферу с ее стандартной метрикой. Поскольку эллиптические и параболические частные дифференциальные уравнения особенно гладки, когда область двумерна, результат Чан-Дин-Е считается показательным для общего характера потока. Развивая фундаментальные работы Сакса и Уленбека, Майкл Струве рассмотрел случай, когда не делается никаких геометрических предположений о (N, h). В случае, когда M двумерно, он установил безусловное существование и единственность слабых решений гармонического теплового потока. Более того, он показал, что его слабые решения гладки вне конечного числа точек пространства-времени, в которых концентрируется плотность энергии. На микроскопическом уровне поток вблизи этих точек моделируется пузырем, то есть гладким гармоническим отображением с круглой двумерной сферы в целевое пространство. Вейюэ Дин и Ган Тянь смогли доказать квантование энергии в сингулярные моменты времени, что означает, что энергия Дирихле слабого решения Струве в сингулярный момент времени уменьшается ровно на сумму полных энергий Дирихле пузырей, соответствующих сингулярностям в этот момент времени. Позднее Струве смог адаптировать свои методы к более высоким размерностям, в случае, когда многообразие области является евклидовым пространством; он и Юн Мэй Чен также рассматривали более высокомерные замкнутые многообразия. Их результаты оказались менее значительными, чем в малых размерностях, и им удалось доказать существование слабых решений, которые гладки на открытых плотных подмножествах.

Формула Бохнера и жесткость

Основным вычислительным моментом в доказательстве теоремы Эллса и Сэмпсона является адаптация формулы Бохнера к ситуации гармонического потока отображений { ft : 0 < t < T }. Эта формула утверждает, что она также представляет интерес при анализе гармонических отображений. Предположим, f : M → N — гармоническое отображение; любое гармоническое отображение можно рассматривать как решение, постоянное по t, уравнения гармонического потока отображений, и, следовательно, из вышеуказанной формулы следует, что если кривизна Риччи g положительна, а сечная кривизна h неположительна, то это подразумевает, что ∆e(f) неотрицательна. Если M замкнуто, то умножение на e(f) и одно интегрирование по частям показывают, что e(f) должно быть постоянным, а значит, и равным нулю; следовательно, f само должно быть постоянным. Ричард Шоэн и Шинг Тунг Яу отметили, что это рассуждение можно распространить на некомпактное M, используя теорему Яу, утверждающую, что неотрицательные субармонические функции, ограниченные в L^(2), должны быть постоянными. В итоге, согласно этим результатам, имеем:

The main computational point in the proof of Eells and Sampson's theorem is an adaptation of the Bochner formula to the setting of a harmonic map heat flow { ft : 0 < t < T }. This formula says

This is also of interest in analyzing harmonic maps. Suppose f : M → N is harmonic; any harmonic map can be viewed as a constant in t solution of the harmonic map heat flow, and so one gets from the above formula that

If the Ricci curvature of g is positive and the sectional curvature of h is nonpositive, then this implies that ∆e(f) is nonnegative. If M is closed, then multiplication by e(f) and a single integration by parts shows that e(f) must be constant, and hence zero; hence f must itself be constant. Richard Schoen and Shing Tung Yau noted that this reasoning can be extended to noncompact M by making use of Yau's theorem asserting that nonnegative subharmonic functions which are L^(2) bounded must be constant. In summary, according to these results, one has:

In combination with the Eells−Sampson theorem, this shows (for instance) that if (M, g) is a closed Riemannian manifold with positive Ricci curvature and (N, h) is a closed Riemannian manifold with nonpositive sectional curvature, then every continuous map from M to N is homotopic to a constant. The general idea of deforming a general map to a harmonic map, and then showing that any such harmonic map must automatically be of a highly restricted class, has found many applications. For instance, Yum Tong Siu found an important complex analytic version of the Bochner formula, asserting that a harmonic map between Kähler manifolds must be holomorphic, provided that the target manifold has appropriately negative curvature. As an application, by making use of the Eells−Sampson existence theorem for harmonic maps, he was able to show that if (M, g) and (N, h) are smooth and closed Kähler manifolds, and if the curvature of (N, h) is appropriately negative, then M and N must be biholomorphic or anti biholomorphic if they are homotopic to each other; the biholomorphism (or anti biholomorphism) is precisely the harmonic map produced as the limit of the harmonic map heat flow with initial data given by the homotopy. By an alternative formulation of the same approach, Siu was able to prove a variant of the still unsolved Hodge conjecture, albeit in the restricted context of negative curvature. Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups. Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space. By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.

В сочетании с теоремой Эллса-Сэмпсона это показывает (например), что если (M, g) — замкнутое риманово многообразие с положительной кривизной Риччи, а (N, h) — замкнутое риманово многообразие с неположительной сечной кривизной, то любое непрерывное отображение из M в N гомотопно константе. Общая идея деформирования общего отображения в гармоническое, а затем доказательства того, что любое такое гармоническое отображение автоматически должно принадлежать к классу с сильными ограничениями, нашла множество применений. Например, Юм Тонг Сиу обнаружил важную комплексно-аналитическую версию формулы Бохнера, утверждающую, что гармоническое отображение между многообразиями Кэлера должно быть голоморфным, при условии, что целевое многообразие имеет соответствующую отрицательную кривизну. В качестве приложения, используя теорему существования Эллса-Сэмпсона для гармонических отображений, он смог показать, что если (M, g) и (N, h) — гладкие и замкнутые многообразия Кэлера, и если кривизна (N, h) соответствующим образом отрицательна, то M и N должны быть биголоморфными или антибиголоморфными, если они гомотопны друг другу; биголоморфизм (или антибиголоморфизм) — это именно гармоническое отображение, полученное как предел гармонического потока отображений с начальными данными, заданными гомотопией. Используя альтернативную формулировку того же подхода, Сиу смог доказать вариант до сих пор нерешенной гипотезы Ходжа, хотя и в ограниченном контексте отрицательной кривизны. Кевин Корлетт обнаружил значительное расширение формулы Бохнера Сиу и использовал его для доказательства новых теорем о жесткости решеток в определенных группах Ли. Впоследствии Михаэль Громов и Ричард Шоэн расширили большую часть теории гармонических отображений, чтобы позволить (N, h) быть замененным метрическим пространством. Используя расширение теоремы Эллса-Сэмпсона вместе с расширением формулы Бохнера Сиу-Корлетта, они смогли доказать новые теоремы о жесткости решеток.

Проблемы и применение

Существование гармонических отображений между многообразиями имеет следствия для их кривизны. Как построить гармоническое отображение, если известно о его существовании? (Одним из плодотворных методов является теория твисторов.) В теоретической физике квантовая теория поля, действие которой задается энергией Дирихле, называется сигма-моделью. В такой теории гармонические отображения соответствуют инстантонам. Одной из первоначальных идей в методах построения сеток для вычислительной гидродинамики и вычислительной физики было использование либо конформного, либо гармонического отображения для генерации регулярных сеток.

Гармонические соотношения между метрическими пространствами

Энергетический интеграл может быть сформулирован в более слабой постановке для функций u: M → N между двумя метрическими пространствами. Энергетический интегранд, в этом случае, является функцией вида, в которой μ — это семейство мер, связанных с каждой точкой M.