Гомоморфизмнің ядросы: категориялық теориядағы алгебралық ядроның жалпылама нұсқасы. Математикадағы қолданыстары, мысалдары мен ерекшеліктері туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Гомоморфизмнің ядросының жалпылануы
Generalization of the kernel of a homomorphism
Категориялар теориясында және математиканың басқа салаларына қолданылуында, ядролар топтық гомоморфизмдердің ядроларының, модульдік гомоморфизмдердің ядроларының және алгебрадан алынған кейбір басқа ядролардың жалпылануы болып табылады. Интуитивті түрде, f: X → Y морфизмінің ядросы – f морфизмімен (соңынан) құрастырылғанда нөлді беретін "ең жалпы" k: K → X морфизмі.
In category theory and its applications to other branches of mathematics, kernels are a generalization of the kernels of group homomorphisms, the kernels of module homomorphisms and certain other kernels from algebra. Intuitively, the kernel of the morphism f : X → Y is the "most general" morphism k : K → X that yields zero when composed with (followed by) f.
Ескеріңіз, ядролық жұптар мен айырмашылық ядролар (бинарлық теңестіргіштер деп те аталады) кейде "ядро" деп аталады; олар байланысты болғанымен, толығымен бірдей емес және осы мақалада талқыланбайды.
Note that kernel pairs and difference kernels (also known as binary equalisers) sometimes go by the name "kernel"; while related, these aren't quite the same thing and are not discussed in this article.
Мысалдар
Ядролар абстрактілік алгебраның көптеген санаттарында белгілі, мысалы, топтар санаты немесе белгілі бір сақинаға (белгілі бір өріс бойынша векторлық кеңістіктерді қоса) қатысты (сол жақтанғы) модульдер санаты. Егер f: X → Y осы санаттардың біріндегі гомоморфизм болса және K оның әдеттегі алгебралық мағынадағы ядросы болса, онда K, X-тің субальгебрасы болады және K-дан X-ке енгізілу гомоморфизмі – категориялық мағынадағы ядро. Моноидтар санатында топтардағыдай категориялық ядролар бар, бірақ бұл ядролар алгебралық мақсаттар үшін жеткілікті мәлімет бермейді. Сондықтан моноидтар теориясында зерттелетін ядро ұғымы сәл өзгеше (төмендегі #алгебралық ядролармен байланысын қараңыз). Бірлік сақиналар санатында категориялық мағынада ядролар жоқ; шындығында, бұл санатта тіпті нөлдік морфизмдер де жоқ. Дегенмен, сақина теориясында зерттелетін ядро ұғымы бар, ол бірліксіз сақиналар санатындағы ядроларға сәйкес келеді. Егер f: X → Y үздіксіз нүктелік бейнелеу болса, онда ерекшеленген нүкте K, X-тің кіші кеңістігі болады. K-нің X-ке енгізілу бейнелеуі f-тің категориялық ядросы болып табылады.
Kernels are familiar in many categories from abstract algebra, such as the category of groups or the category of (left) modules over a fixed ring (including vector spaces over a fixed field). To be explicit, if f : X → Y is a homomorphism in one of these categories, and K is its kernel in the usual algebraic sense, then K is a subalgebra of X and the inclusion homomorphism from K to X is a kernel in the categorical sense. Note that in the category of monoids, category theoretic kernels exist just as for groups, but these kernels don't carry sufficient information for algebraic purposes. Therefore, the notion of kernel studied in monoid theory is slightly different (see #Relationship to algebraic kernels below). In the category of unital rings, there are no kernels in the category theoretic sense; indeed, this category does not even have zero morphisms. Nevertheless, there is still a notion of kernel studied in ring theory that corresponds to kernels in the category of non unital rings. In the category of pointed topological spaces, if f : X → Y is a continuous pointed map, then the preimage of the distinguished point, K, is a subspace of X. The inclusion map of K into X is the categorical kernel of f.
Алгебралық ядролармен байланысы
Универсалды алгебра бір түрдегі екі алгебралық құрылым арасындағы гомоморфизмдер үшін ядро ұғымын анықтайды. Бұл ядро ұғымы берілген гомоморфизмнің инъективті болудан қаншалықты алшақ екенін көрсетеді. Бұл алгебралық ұғым мен ядроның категориялық ұғымы арасында белгілі бір ортақ нәрсе бар, себебі екеуі де жоғарыда айтылған топтар мен модульдердің жағдайын жалпылайды. Дегенмен, жалпы алғанда, ядроның универсалды алгебралық ұғымы категориялық теориядағы ядро жұбы ұғымына көбірек ұқсайды. Атап айтқанда, ядро жұптары моноидтар теориясы немесе сақиналар теориясындағы ядроларды категориялық теория тұрғысынан түсіндіру үшін қолданылуы мүмкін.
Universal algebra defines a notion of kernel for homomorphisms between two algebraic structures of the same kind. This concept of kernel measures how far the given homomorphism is from being injective. There is some overlap between this algebraic notion and the categorical notion of kernel since both generalize the situation of groups and modules mentioned above. In general, however, the universal algebraic notion of kernel is more like the category theoretic concept of kernel pair. In particular, kernel pairs can be used to interpret kernels in monoid theory or ring theory in category theoretic terms.