Ядро гомоморфизма в теории категорий: обобщение алгебраических ядер, определение и свойства. Важно для групп, модулей и других математических структур.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Обобщение ядра гомоморфизма
Generalization of the kernel of a homomorphism
В теории категорий и ее приложениях в других областях математики, ядра являются обобщением ядер групповых гомоморфизмов, ядер модульных гомоморфизмов и некоторых других ядер из алгебры. Интуитивно, ядро морфизма f : X → Y — это "наиболее общий" морфизм k : K → X, который при композиции с f дает нулевой объект.
In category theory and its applications to other branches of mathematics, kernels are a generalization of the kernels of group homomorphisms, the kernels of module homomorphisms and certain other kernels from algebra. Intuitively, the kernel of the morphism f : X → Y is the "most general" morphism k : K → X that yields zero when composed with (followed by) f.
Следует отметить, что пары ядер и ядра разности (также известные как бинарные эквалайзеры) иногда называют "ядром"; хотя они связаны, это не совсем одно и то же, и они не рассматриваются в данной статье.
Note that kernel pairs and difference kernels (also known as binary equalisers) sometimes go by the name "kernel"; while related, these aren't quite the same thing and are not discussed in this article.
Примеры
Ядра известны во многих категориях из абстрактной алгебры, таких как категория групп или категория (левых) модулей над фиксированным кольцом (включая векторные пространства над фиксированным полем). В частности, если f : X → Y — гомоморфизм в одной из этих категорий, а K — его ядро в обычном алгебраическом смысле, то K является подалгеброй X, а гомоморфизм включения из K в X является ядром в категорном смысле. Следует отметить, что в категории моноидов категорные ядра существуют, как и для групп, но эти ядра не содержат достаточной информации для алгебраических целей. Поэтому понятие ядра, изучаемое в теории моноидов, несколько отличается (см. #Связь с алгебраическими ядрами ниже). В категории унитальных колец категорных ядер не существует; фактически, эта категория даже не имеет нулевых морфизмов. Тем не менее, в теории колец все еще изучается понятие ядра, которое соответствует ядрам в категории неунитальных колец. В категории указанных топологических пространств, если f : X → Y — непрерывное отображение с выделенной точкой, то прообраз выделенной точки, K, является подпространством X. Отображение включения K в X является категорным ядром f.
Kernels are familiar in many categories from abstract algebra, such as the category of groups or the category of (left) modules over a fixed ring (including vector spaces over a fixed field). To be explicit, if f : X → Y is a homomorphism in one of these categories, and K is its kernel in the usual algebraic sense, then K is a subalgebra of X and the inclusion homomorphism from K to X is a kernel in the categorical sense. Note that in the category of monoids, category theoretic kernels exist just as for groups, but these kernels don't carry sufficient information for algebraic purposes. Therefore, the notion of kernel studied in monoid theory is slightly different (see #Relationship to algebraic kernels below). In the category of unital rings, there are no kernels in the category theoretic sense; indeed, this category does not even have zero morphisms. Nevertheless, there is still a notion of kernel studied in ring theory that corresponds to kernels in the category of non unital rings. In the category of pointed topological spaces, if f : X → Y is a continuous pointed map, then the preimage of the distinguished point, K, is a subspace of X. The inclusion map of K into X is the categorical kernel of f.
Отношение к алгебраическим ядрам
Универсальная алгебра определяет понятие ядра для гомоморфизмов между двумя алгебраическими структурами одного типа. Эта концепция ядра показывает, насколько данный гомоморфизм далек от инъективности. Существует некоторое совпадение между этим алгебраическим понятием и категорным понятием ядра, поскольку оба обобщают ситуацию с группами и модулями, упомянутыми выше. Однако в целом универсально-алгебраическое понятие ядра больше похоже на категорно-теоретическое понятие пары ядер. В частности, пары ядер можно использовать для интерпретации ядер в теории моноидов или теории колец в категорных терминах.
Universal algebra defines a notion of kernel for homomorphisms between two algebraic structures of the same kind. This concept of kernel measures how far the given homomorphism is from being injective. There is some overlap between this algebraic notion and the categorical notion of kernel since both generalize the situation of groups and modules mentioned above. In general, however, the universal algebraic notion of kernel is more like the category theoretic concept of kernel pair. In particular, kernel pairs can be used to interpret kernels in monoid theory or ring theory in category theoretic terms.