Кіріспе
Алгебралық құрылымы бар гоможинақтарға ие санаттар Категория теориясында, математиканың бір саласы, байытылған санат гоможинақтарды жалпы моноидтық санаттан алынған объектілермен алмастыру арқылы санат ұғымын кеңейтеді. Бұл көптеген практикалық қолданыстарда гоможинақтың көбінесе сақталуы тиіс қосымша құрылымы бар екенін көрсетеді, мысалы, морфизмдердің векторлық кеңістігі немесе морфизмдердің топологиялық кеңістігі. Байытылған санатта, әрбір объектілер жұбына сәйкес келетін морфизмдер жиынтығы (гоможинақ) "гомообъектілердің" белгілі бір моноидтық санатындағы объектімен алмастырылады. Қарапайым санаттағы морфизмдердің (ассоциативті) құрамын имитациялау үшін гомосанат гомообъектілерді ассоциативті түрде құрастыруға мүмкіндік беруі керек: яғни, объектілерде кем дегенде моноидтық санат құрылымын беретін екілік операция болуы керек, бірақ кейбір жағдайларда операцияның коммутативті болуы және, мүмкін, оң жақтың қосылуы да қажет (яғни, санатты симметриялық моноидты немесе тіпті симметриялық жабық моноидты ету). Осылайша, байытылған санат теориясы бір шеңберде көптеген құрылымдарды қамтиды, соның ішінде гоможинақтан басқа қосымша құрылымы бар қарапайым санаттар да бар. Яғни, морфизмдердегі композиция арқылы сақталуы керек операциялар немесе қасиеттер бар (мысалы, 2 санаттағы морфизмдер арасындағы 2-ұяшықтардың болуы және олардың көлденең композициясы, немесе абельдік санаттағы морфизмдерге қосу операциясы). Жеке морфизм ұғымы жоқ, бірақ гомообъектілері ұқсас композициялық аспектілерге ие санаттар сияқты бірліктер (мысалы, композиция ережесі транзитивтілікті қамтамасыз ететін алдын ала тапсырыстар немесе Лоувердің метрикалық кеңістіктері, онда гомообъектілер сандық қашықтықтар болып табылады және композиция ережесі үшбұрыш теңсіздігін қамтамасыз етеді). Егер гомообъектілер санаты әдеттегі картезиандық көбейтуі бар жиындар санаты болса, байытылған санат, байытылған функтор және т.б. анықтамалары қарапайым санат теориясының бастапқы анықтамаларына дейін тоғады. Моноидтық M санатындағы гомообъектілері бар байытылған санат M-ге қатысты байытылған санат немесе M-дегі байытылған санат немесе жай ғана M санаттары деп аталады. Мак-Лейн моноидтық санатты атау үшін V әрпін жиі қолданғандықтан, байытылған санаттар кейде жалпы түрде V санаттары деп аталады.
In category theory, a branch of mathematics, an enriched category generalizes the idea of a category by replacing hom sets with objects from a general monoidal category. It is motivated by the observation that, in many practical applications, the hom set often has additional structure that should be respected, e. g., that of being a vector space of morphisms, or a topological space of morphisms. In an enriched category, the set of morphisms (the hom set) associated with every pair of objects is replaced by an object in some fixed monoidal category of "hom objects". In order to emulate the (associative) composition of morphisms in an ordinary category, the hom category must have a means of composing hom objects in an associative manner: that is, there must be a binary operation on objects giving us at least the structure of a monoidal category, though in some contexts the operation may also need to be commutative and perhaps also to have a right adjoint (i. e., making the category symmetric monoidal or even symmetric closed monoidal, respectively). Enriched category theory thus encompasses within the same framework a wide variety of structures including
ordinary categories where the hom set carries additional structure beyond being a set. That is, there are operations on, or properties of morphisms that need to be respected by composition (e. g., the existence of 2 cells between morphisms and horizontal composition thereof in a 2 category, or the addition operation on morphisms in an abelian category)
category like entities that don't themselves have any notion of individual morphism but whose hom objects have similar compositional aspects (e. g., preorders where the composition rule ensures transitivity, or Lawvere's metric spaces, where the hom objects are numerical distances and the composition rule provides the triangle inequality). In the case where the hom object category happens to be the category of sets with the usual cartesian product, the definitions of enriched category, enriched functor, etc reduce to the original definitions from ordinary category theory. An enriched category with hom objects from monoidal category M is said to be an enriched category over M or an enriched category in M, or simply an M category. Due to Mac Lane's preference for the letter V in referring to the monoidal category, enriched categories are also sometimes referred to generally as V categories.
Моноиділдік функторлармен байланыс
Егер моноидтік категория M-ден моноидтік категория N-ге моноидтік функтор болса, онда M-мен байытылған кез келген категория N-мен байытылған категория ретінде қайта қарастырылуы мүмкін. Кез келген моноидтік категория M-нің жиындар санатына M(I, –) моноидтік функторы болады, сондықтан кез келген байытылған категорияның негізгі обыкновенный категориясы бар. Көптеген мысалдарда (мысалы, жоғарыдағыдай) бұл функтор адал, сондықтан M-мен байытылған категорияны белгілі бір қосымша құрылым немесе қасиеттері бар обыкновенный категория ретінде сипаттауға болады.