Введение
Категория, гомо-множества которой обладают алгебраической структурой.
В теории категорий, ветви математики, обогащённая категория обобщает понятие категории, заменяя гомо-множества объектами из общей моноидальной категории. Это обусловлено тем, что во многих практических приложениях гомо-множество часто имеет дополнительную структуру, которую необходимо учитывать, например, структуру векторного пространства морфизмов или топологического пространства морфизмов. В обогащённой категории множество морфизмов (гомо-множество), связанное с каждой парой объектов, заменяется объектом в некоторой фиксированной моноидальной категории "гомо-объектов". Чтобы имитировать (ассоциативное) композиционное правило морфизмов в обычной категории, категория гомо-объектов должна иметь способ ассоциативного композирования гомо-объектов: то есть, должна существовать бинарная операция над объектами, обеспечивающая, по крайней мере, структуру моноидальной категории, хотя в некоторых контекстах операция также может быть коммутативной и, возможно, иметь правое сопряжение (то есть, делая категорию симметричной моноидальной или даже симметричной замкнутой моноидальной, соответственно). Таким образом, теория обогащённых категорий охватывает в единой структуре широкий спектр структур, включая обычные категории, в которых гомо-множество несёт дополнительную структуру, помимо того, чтобы быть просто множеством. То есть, существуют операции над морфизмами или их свойства, которые должны соблюдаться при композиции (например, существование 2-ячеек между морфизмами и их горизонтальной композиции в 2-категории, или операция сложения морфизмов в абелевой категории), а также структуры, подобные категориям, которые сами по себе не имеют понятия об отдельных морфизмах, но чьи гомо-объекты обладают аналогичными композиционными свойствами (например, предпорядки, где правило композиции обеспечивает транзитивность, или метрические пространства Ловера, где гомо-объекты являются числовыми расстояниями, а правило композиции обеспечивает неравенство треугольника). В случае, когда категория гомо-объектов оказывается категорией множеств с обычным декартовым произведением, определения обогащённой категории, обогащённого функтора и т. д. сводятся к исходным определениям из обычной теории категорий. Обогащённая категория с гомо-объектами из моноидальной категории M называется обогащённой категорией над M, обогащённой категорией в M или просто M-категорией. Ввиду предпочтения Мак-Лейна буквы V для обозначения моноидальной категории, обогащённые категории также иногда называют V-категориями.
In category theory, a branch of mathematics, an enriched category generalizes the idea of a category by replacing hom sets with objects from a general monoidal category. It is motivated by the observation that, in many practical applications, the hom set often has additional structure that should be respected, e. g., that of being a vector space of morphisms, or a topological space of morphisms. In an enriched category, the set of morphisms (the hom set) associated with every pair of objects is replaced by an object in some fixed monoidal category of "hom objects". In order to emulate the (associative) composition of morphisms in an ordinary category, the hom category must have a means of composing hom objects in an associative manner: that is, there must be a binary operation on objects giving us at least the structure of a monoidal category, though in some contexts the operation may also need to be commutative and perhaps also to have a right adjoint (i. e., making the category symmetric monoidal or even symmetric closed monoidal, respectively). Enriched category theory thus encompasses within the same framework a wide variety of structures including
ordinary categories where the hom set carries additional structure beyond being a set. That is, there are operations on, or properties of morphisms that need to be respected by composition (e. g., the existence of 2 cells between morphisms and horizontal composition thereof in a 2 category, or the addition operation on morphisms in an abelian category)
category like entities that don't themselves have any notion of individual morphism but whose hom objects have similar compositional aspects (e. g., preorders where the composition rule ensures transitivity, or Lawvere's metric spaces, where the hom objects are numerical distances and the composition rule provides the triangle inequality). In the case where the hom object category happens to be the category of sets with the usual cartesian product, the definitions of enriched category, enriched functor, etc reduce to the original definitions from ordinary category theory. An enriched category with hom objects from monoidal category M is said to be an enriched category over M or an enriched category in M, or simply an M category. Due to Mac Lane's preference for the letter V in referring to the monoidal category, enriched categories are also sometimes referred to generally as V categories.
Связь с моноидальными функторами
Если существует моноидальный функтор из моноидальной категории M в моноидальную категорию N, то любая категория, обогащенная над M, может быть переинтерпретирована как категория, обогащенная над N. Каждая моноидальная категория M имеет моноидальный функтор M(I, –) в категорию множеств, поэтому любая обогащенная категория имеет лежащую в основе обычную категорию. Во многих примерах (таких, как выше) этот функтор является верным, поэтому категорию, обогащенную над M, можно описать как обычную категорию с определенной дополнительной структурой или свойствами.