Кіріспе
Бүкіл санның басқа бүтін санға бөлінбейтін бөліктерге жіктелу саны туралы. Сандар теориясында Глейшер теоремасы – бүтін сандар жіктелуін зерттеуге пайдалы болатын өте маңызды теңдік. 1883 жылы Джеймс Уитбрейд Ли Глейшер бұл теореманы дәлелдеп, бүкіл санның басқа санға бөлінбейтін бөліктерге жіктелу саны, ешбір бөлігі екі реттен артық қайталанбайтын жіктелулер санына тең екенін көрсетті. Бұл 1748 жылы Леонард Эйлердің тапқан нәтижесін жалпылайды.
In number theory, Glaisher's theorem is an identity useful to the study of integer partitions. Proved in 1883 by James Whitbread Lee Glaisher, it states that the number of partitions of an integer into parts not divisible by is equal to the number of partitions in which no part is repeated or more times. This generalizes a result established in 1748 by Leonhard Euler for the case .
Айтылым
Ол бүтін санның бөлінгіш емес бөліктерге бөліну саны, d рет немесе одан да көп қайталанбаған бөліктерге бөліну санына тең екенін көрсетеді, бұл формальды түрде бөліктері мынадай түрінде жазылатын бөліністер арқылы көрсетіледі: мұнда және . екенін айтады. -нің мәні болғанда, бұл Ойлер теоремасы деп аталатын ерекше жағдайға айналады, яғни, -нің ерекше бөліктерге бөліну саны, -нің тақ бөліктерге бөліну санына тең. Келесі мысалдарда бөліністердің көптігін белгілеуді қолданамыз. Мысалы, - бұл 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3 бөлінісін белгілеу.
When this becomes the special case known as Euler's theorem, that the number of partitions of into distinct parts is equal to the number of partitions of into odd parts. In the following examples, we use the multiplicity notation of partitions. For example, is a notation for the partition 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3.
d=2 (Ойлер теоремасының жағдайы) мысалы
7 санының 15 бөлінісінің ішінде, тек тақ бөліктері бар (яғни тек тақ сандардан ғана құралған) 5 бөлініс бар, олар төменде қалың әріппен көрсетілген: Егер біз 7 санының әрқайсысы бір рет келетін бөліктерінен тұратын бөліністерін санасақ, онда да 5 бөлініс шығады: Бірінші және екінші жағдайда қалың әріппен жазылған бөліністер әртүрлі, ал олардың саны неге бірдей екені анық емес.
If we count now the partitions of 7 with distinct parts (i. e. where no number is repeated), we also obtain 5:
The partitions in bold in the first and second case are not the same, and it is not obvious why their number is the same.
Роджерс-Раманужан сәйкестіктері
Егер бөлек бөліктері бар бөлшектердің санын санаудың орнына, кем дегенде 2-ге айырмашылығы бар бөліктері бар бөлшектердің санын санасақ, одан әрі жалпылауға болады. Оны алғаш рет 1894 жылы Леонард Джеймс Роджерс, кейін 1913 жылы Раманужан және 1917 жылы Шур тәуелсіз түрде ашты, бұл қазір Роджерс-Раманужан теңдіктері деп белгілі. Онда мыналар көрсетілген:
1) Бөлшектері кем дегенде 2-ге айырмашылығы бар бөлшектердің саны, 1 немесе 4-ке конгруэнтті (mod 5) сандардан ғана тұратын бөлшектердің санына тең. 2) Бөлшектері кем дегенде 2-ге айырмашылығы бар және ең кіші бөлігі кем дегенде 2-ге тең бөлшектердің саны, 2 немесе 3-ке конгруэнтті (mod 5) сандардан ғана тұратын бөлшектердің санына тең.