Введение
О числе разбиений целого числа на части, не делящиеся на другое целое число. В теории чисел теорема Глейшера — это тождество, полезное для изучения разбиений целых чисел. Доказанная в 1883 году Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером, она утверждает, что число разбиений целого числа на части, не делящиеся на *n*, равно числу разбиений, в которых ни одна часть не повторяется *k* или более раз. Это обобщает результат, установленный Леонардом Эйлером в 1748 году для случая *n* = *k*.
In number theory, Glaisher's theorem is an identity useful to the study of integer partitions. Proved in 1883 by James Whitbread Lee Glaisher, it states that the number of partitions of an integer into parts not divisible by is equal to the number of partitions in which no part is repeated or more times. This generalizes a result established in 1748 by Leonhard Euler for the case .
Заявление
В ней говорится, что число разбиений целого числа на части, не делящиеся на, равно числу разбиений, в которых ни одна часть не повторяется d и более раз, что формально можно записать как разбиения вида , где и .
Когда , это становится частным случаем, известным как теорема Эйлера, утверждающая, что число разбиений на различные части равно числу разбиений на нечётные части. В следующих примерах мы будем использовать обозначение кратности для разбиений. Например, – это обозначение разбиения 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3.
When this becomes the special case known as Euler's theorem, that the number of partitions of into distinct parts is equal to the number of partitions of into odd parts. In the following examples, we use the multiplicity notation of partitions. For example, is a notation for the partition 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3.
Пример для d=2 (теорема Эйлера)
Среди 15 разбиений числа 7 есть 5, выделенных жирным шрифтом ниже, которые состоят только из нечетных слагаемых (то есть только нечетных чисел):
Если теперь посчитать разбиения числа 7 на различные слагаемые (то есть, где каждое число встречается не более одного раза), то также получим 5:
Разбиения, выделенные жирным шрифтом в первом и втором случаях, не совпадают, и не очевидно, почему их количество одинаково.
Роджерс-Рамануджанские идентичности
Если вместо подсчета количества разбиений на различные части считать количество разбиений, части которых отличаются как минимум на 2, возможно дальнейшее обобщение. Это было впервые обнаружено Леонардом Джеймсом Роджерсом в 1894 году, а затем независимо Рамануджаном в 1913 году и Шуром в 1917 году, в то, что сейчас известно как тождества Роджерса-Рамануджана. Они утверждают следующее:
1) Число разбиений, части которых отличаются как минимум на 2, равно числу разбиений, состоящих только из чисел, сравнимых с 1 или 4 по модулю 5. 2) Число разбиений, части которых отличаются как минимум на 2 и наименьшая часть которых не меньше 2, равно числу разбиений, состоящих только из чисел, сравнимых с 2 или 3 по модулю 5.