Кіріспе

Математиканың топтық теориясындағы ұғым

Математикада, әсіресе топтық теорияда, нильпотентті топ G – G-мен аяқталатын жоғарғы орталық қатарға ие топ. Балама түрінде, оның шекті ұзындығы бар орталық қатары бар немесе оның төменгі орталық қатары {1} элементімен аяқталады. Интуитивті түрде, нильпотентті топ – "біршама абельдік" топ. Бұл идея нильпотентті топтардың шешілетін екендігімен және шекті нильпотентті топтар үшін өзара жай сандар ретіндегі екі элементтің коммутациялауы қажеттігімен негізделген. Сондай-ақ, шекті нильпотентті топтар супершешімді болып табылады. Бұл ұғым 1930 жылдары орыс математигі Сергей Черниковтың жұмысына байланысты. Нильпотентті топтар Галуа теориясында, сондай-ақ топтарды жіктеуде қолданылады. Олар Ли топтарының жіктелуінде де маңызды рөл атқарады. Ли алгебралары үшін де (Ли жақшасын қолдана отырып) нильпотентті, төменгі орталық қатар және жоғарғы орталық қатар сияқты аналогтық терминдер қолданылады.

Анықтама

Анықтама топ үшін орталық тізбек түсінігін пайдаланады. G нильпотентті тобы үшін келесідей эквивалентті анықтамалар бар:

Нильпотентті топ үшін, G тобындағы ұзындығы n орталық тізбектің ең кіші n саны, G тобының нильпотенттілік класы деп аталады; және G тобы n кластың нильпотентті тобы деп аталады. (Анықтама бойынша, егер тізбекте тривиальді кіші топ пен бүкіл топты қоса алғанда, әртүрлі кіші топтар болса, онда ұзындығы n болады.) Балама ретінде, G тобының нильпотенттілік класы төменгі орталық тізбектің немесе жоғарғы орталық тізбектің ұзындығына тең. Егер топтың нильпотенттілік класы ең көп дегенде n болса, онда оны кейде nil n тобы деп атайды. Нильпотенттіліктің жоғарыда келтірілген анықтамаларының кез келгенінен тікелей шығады, тривиальді топ – 0 кластағы нильпотенттіліктің жалғыз тобы, ал 1 кластағы нильпотенттілік топтары – тривиальді емес абельдік топтардың өзі.

Мысалдар

Жоғарыда айтылғандай, кез келген абельдік топ нилпотентті болады. Шағын абельдік емес мысал ретінде, кватерниондық топ Q8 қарастырыңыз, ол ең кіші абельдік емес p-тобы. Оның ортасы {1, −1} 2-ретті, ал жоғарғы орталық қатары {1}, {1, −1}, Q8; демек, ол 2-класты нилпотентті. Екі нилпотентті топтың тікелей көбейтіндісі нилпотентті болады. Барлық шекті p-топтары, шындығында, нилпотентті (дәлелдеме). pn реттік топтың максималды класы n-ге тең (мысалы, кез келген 2-ретті топ 1-класты нилпотентті болады). Максималды кластың 2-топтары – жалпыланған кватерниондық топтар, диэдрлік топтар және жартылай диэдрлік топтар. Сонымен қатар, кез келген шекті нилпотентті топ p-топтарының тікелей көбейтіндісі болып табылады. шексіз нилпотентті топ. Оның нилпотенттілік класы 2-ге тең, орталық қатары 1, Z(H), H. F өрісіндегі n × n жоғарғы үшбұрышты матрицалардың көбейту тобы, әдетте, нилпотентті емес, бірақ шешімді. G/Z(G) абельдік болатын кез келген абельдік емес топтың нилпотенттілік класы 2-ге тең, орталық қатары {1}, Z(G), G. Кез келген топтың реті k болатын k табиғи сандары, олардың нилпотентті болуы сипатталған.

Терминнің түсіндірмесі

Нилпотентті топтар кез келген элементтің "қосақтас әрекеті" нилпотентті болғандықтан осылай аталады, яғни нилпотенттілік дәрежесі белгілі бір нилпотентті топ пен элемент үшін, (мұнда - және -дың коммутаторы) функциясы нилпотентті болып табылады, яғни функцияның рет қайталануы тривиалды болады: барлық үшін . Бұл нилпотентті топтардың анықтамалық қасиеті емес: дәрежесі нилпотентті (жоғарыда аталған мағынада) топтар Энгель топтары деп аталады және олар әдетте нилпотентті болмайды. Егер олардың реті шекті болса, олар нилпотентті екені дәлелденді, ал олар шекті түрде туындалған жағдайда нилпотентті болатыны болжанады. Абельдік топ – қосақтас әрекеті тек нилпотентті ғана емес, сонымен қатар тривиалды (1 Энгель тобы) болатын топ.