Введение
Концепция в теории групп математики
В математике, в частности в теории групп, нилпотентная группа G – это группа, обладающая верхним центральным рядом, заканчивающимся на G. Эквивалентно, она имеет центральный ряд конечной длины или её нижний центральный ряд заканчивается на {1}. Интуитивно, нилпотентная группа – это группа, которая "почти абелева". Эта идея обусловлена тем, что нилпотентные группы разрешимы, и для конечных нилпотентных групп два элемента с взаимно простыми порядками должны коммутировать. Также верно, что конечные нилпотентные группы являются сверхразрешимыми. Концепция связана с работами русского математика Сергея Черникова 1930-х годов. Нилпотентные группы возникают в теории Галуа, а также при классификации групп. Они также играют важную роль в классификации групп Ли. Аналогичные термины используются для алгебр Ли (с использованием скобки Ли), включая нилпотентные, нижние центральные ряды и верхние центральные ряды.
Определение
В определении используется идея центрального ряда для группы. Ниже приведены эквивалентные определения для нилпотентной группы G:
Для нилпотентной группы наименьшее n, такое, что у G существует центральный ряд длины n, называется классом нилпотентности G, и говорят, что G является нилпотентной группой класса n. (По определению, длина равна n, если в ряду содержится n различных подгрупп, включая тривиальную подгруппу и всю группу.) Эквивалентно, класс нилпотентности G равен длине нижней центральной серии или верхней центральной серии. Если класс нилпотентности группы не превосходит n, то ее иногда называют нил-n группой. Непосредственно следует из любой из вышеприведенных формулировок определения нилпотентности, что тривиальная группа является единственной группой класса нилпотентности 0, а группы класса нилпотентности 1 – это все нетривиальные абелевы группы.
Примеры
Как отмечалось выше, каждая абелева группа является нильпотентной. В качестве небольшого неабелева примера рассмотрим группу кватернионов Q8, которая является наименьшей неабелевой p-группой. Её центр – {1, −1} порядка 2, а её верхний центральный ряд – {1}, {1, −1}, Q8; следовательно, она нильпотентна класса 2. Прямое произведение двух нильпотентных групп является нильпотентным. Все конечные p-группы на самом деле нильпотентны (доказано). Максимальный класс группы порядка pn равен n (например, любая группа порядка 2 является нильпотентной группы класса 1). Группами максимального класса являются обобщённые кватернионные группы, диэдрические группы и полудиэдрические группы. Более того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением p-групп. Бесконечная нильпотентная группа. Она имеет класс нильпотентности 2 с центральным рядом 1, Z(H), H.
The multiplicative group of invertible upper triangular n × n matrices over a field F is not in general nilpotent, but is solvable. Any nonabelian group G such that G/Z(G) is abelian has nilpotency class 2, with central series {1}, Z(G), G.
The natural numbers k for which any group of order k is nilpotent have been characterized .
Мультипликативная группа обратимых верхнетреугольных матриц n × n над полем F не является нильпотентной в общем случае, но является разрешимой. Любая неабелева группа G, такая что G/Z(G) является абелевой, имеет класс нильпотентности 2, с центральным рядом {1}, Z(G), G.
The multiplicative group of invertible upper triangular n × n matrices over a field F is not in general nilpotent, but is solvable. Any nonabelian group G such that G/Z(G) is abelian has nilpotency class 2, with central series {1}, Z(G), G.
The natural numbers k for which any group of order k is nilpotent have been characterized .
Натуральные числа k, для которых любая группа порядка k является нильпотентной, были охарактеризованы.
The multiplicative group of invertible upper triangular n × n matrices over a field F is not in general nilpotent, but is solvable. Any nonabelian group G such that G/Z(G) is abelian has nilpotency class 2, with central series {1}, Z(G), G.
The natural numbers k for which any group of order k is nilpotent have been characterized .
Пояснение термина
Нилпотентные группы называются так потому, что "сопряжённое действие" любого элемента является нилпотентным, то есть для нилпотентной группы степени нипотентности *p* и элемента *x*, функция, определяемая как *f<sup>n</sup>(y) = [x, f<sup>n-1</sup>(y)]* (где [*x, y*] – коммутатор элементов *x* и *y*), является нилпотентной в том смысле, что *p*-я итерация функции тривиальна: *f<sup>p</sup>(y) = 1* для всех *y* из *G*.
Это не является определяющей характеристикой нилпотентных групп: группы, для которых сопряжённое действие является нилпотентным степени *p* (в вышеуказанном смысле), называются группами Энгеля и, вообще говоря, не обязаны быть нилпотентными. Доказано, что они нилпотентны, если имеют конечный порядок, и предполагается, что они нилпотентны, если конечно порождены. Абелева группа – это именно та, для которой сопряжённое действие не просто нилпотентно, но и тривиально (группа Энгеля 1-го порядка).
This is not a defining characteristic of nilpotent groups: groups for which is nilpotent of degree (in the sense above) are called Engel groups, and need not be nilpotent in general. They are proven to be nilpotent if they have finite order, and are conjectured to be nilpotent as long as they are finitely generated. An abelian group is precisely one for which the adjoint action is not just nilpotent but trivial (a 1 Engel group).