Введение
Локус нулей многочлена второй степени
In mathematics, a quadric or quadric surface (quadric hypersurface in higher dimensions), is a generalization of conic sections (ellipses, parabolas, and hyperbolas). It is a hypersurface (of dimension D) in a (D + 1) dimensional space, and it is defined as the zero set of an irreducible polynomial of degree two in D + 1 variables; for example, 1=D = 1 in the case of conic sections. When the defining polynomial is not absolutely irreducible, the zero set is generally not considered a quadric, although it is often called a degenerate quadric or a reducible quadric. In coordinates x1, x2, , xD+1, the general quadric is thus defined by the algebraic equation
which may be compactly written in vector and matrix notation as:
where 1=x = (x1, x2, , xD+1) is a row vector, xT is the transpose of x (a column vector), Q is a (D + 1) × (D + 1) matrix and P is a (D + 1) dimensional row vector and R a scalar constant. The values Q, P and R are often taken to be over real numbers or complex numbers, but a quadric may be defined over any field. A quadric is an affine algebraic variety, or, if it is reducible, an affine algebraic set. Quadrics may also be defined in projective spaces; see , below.
В математике квадрика или квадрическая поверхность (квадрическая гиперповерхность в более высоких измерениях) является обобщением конических сечений (эллипсов, парабол и гипербол). Это гиперповерхность (размерности D) в (D + 1)-мерном пространстве, определяемая как множество нулей неразложимого многочлена второй степени от D + 1 переменных; например, при D = 1 это соответствует коническим сечениям. Если определяющий многочлен не является абсолютно неприводимым, множество нулей обычно не рассматривается как квадрика, хотя его часто называют вырожденной или приводимой квадрикой. В координатах x1, x2, ..., xD+1 общая квадрика определяется алгебраическим уравнением, которое можно компактно записать в векторно-матричной форме как:
In mathematics, a quadric or quadric surface (quadric hypersurface in higher dimensions), is a generalization of conic sections (ellipses, parabolas, and hyperbolas). It is a hypersurface (of dimension D) in a (D + 1) dimensional space, and it is defined as the zero set of an irreducible polynomial of degree two in D + 1 variables; for example, 1=D = 1 in the case of conic sections. When the defining polynomial is not absolutely irreducible, the zero set is generally not considered a quadric, although it is often called a degenerate quadric or a reducible quadric. In coordinates x1, x2, , xD+1, the general quadric is thus defined by the algebraic equation
which may be compactly written in vector and matrix notation as:
where 1=x = (x1, x2, , xD+1) is a row vector, xT is the transpose of x (a column vector), Q is a (D + 1) × (D + 1) matrix and P is a (D + 1) dimensional row vector and R a scalar constant. The values Q, P and R are often taken to be over real numbers or complex numbers, but a quadric may be defined over any field. A quadric is an affine algebraic variety, or, if it is reducible, an affine algebraic set. Quadrics may also be defined in projective spaces; see , below.
где x = (x1, x2, ..., xD+1) – вектор-строка, xᵀ – транспонирование вектора x (вектор-столбец), Q – матрица (D + 1) × (D + 1), P – вектор-строка размерности (D + 1), а R – скалярная константа. Значения Q, P и R часто рассматриваются над полем вещественных или комплексных чисел, но квадрика может быть определена над любым полем. Квадрика является аффинным алгебраическим многообразием или, если она приводима, аффинным алгебраическим множеством. Квадрики также могут быть определены в проективных пространствах; см. ниже.
In mathematics, a quadric or quadric surface (quadric hypersurface in higher dimensions), is a generalization of conic sections (ellipses, parabolas, and hyperbolas). It is a hypersurface (of dimension D) in a (D + 1) dimensional space, and it is defined as the zero set of an irreducible polynomial of degree two in D + 1 variables; for example, 1=D = 1 in the case of conic sections. When the defining polynomial is not absolutely irreducible, the zero set is generally not considered a quadric, although it is often called a degenerate quadric or a reducible quadric. In coordinates x1, x2, , xD+1, the general quadric is thus defined by the algebraic equation
which may be compactly written in vector and matrix notation as:
where 1=x = (x1, x2, , xD+1) is a row vector, xT is the transpose of x (a column vector), Q is a (D + 1) × (D + 1) matrix and P is a (D + 1) dimensional row vector and R a scalar constant. The values Q, P and R are often taken to be over real numbers or complex numbers, but a quadric may be defined over any field. A quadric is an affine algebraic variety, or, if it is reducible, an affine algebraic set. Quadrics may also be defined in projective spaces; see , below.
Евклидова плоскость
Поскольку размерность евклидовой плоскости равна двум, квадрики на евклидовой плоскости имеют размерность один и, следовательно, являются плоскими кривыми. Они называются коническими сечениями или кониками.
Проективные квадрики над полями
Определение проективного квадрика в реальном проективном пространстве (см. выше) может быть формально адаптировано для определения проективного квадрика в n-мерном проективном пространстве над полем. Чтобы избежать работы с координатами, проективный квадрик обычно определяется, исходя из квадратичной формы на векторном пространстве.
Проективная квадрика
Квадратная форма на векторном пространстве определяет квадрику в ассоциированном проективном пространстве как множество точек, таких что . То есть,
Примеры в :
(E1): Для одного получается коническое сечение. (E2): Для одного получается пара прямых с уравнениями и , соответственно. Они пересекаются в точке ;
(E1): For one obtains a conic. (E2): For one obtains the pair of lines with the equations and , respectively. They intersect at point ;
Для дальнейших рассмотрений предполагается, что .
Обобщение квадриков: квадрические множества
Нецелесообразно формально расширять определение квадриков на пространства над собственными скошенными полями (кольцами с делением). Поскольку в этом случае можно получить секущие, содержащие более двух точек квадрики, что принципиально отличается от обычных квадрик. Причина заключается в следующем утверждении: кольцо с делением коммутативно тогда и только тогда, когда любое уравнение имеет не более двух решений. Существуют обобщения квадрик – квадратичные множества. Квадратичное множество – это множество точек проективного пространства, обладающее теми же геометрическими свойствами, что и квадрика: любая прямая пересекает квадратичное множество не более чем в двух точках или содержится в этом множестве.