Кіріспе
Математикада (нақты) Монже-Ампер теңдеуі - арнайы түрдегі екінші реттік сызықтық емес бөлшектік дифференциалдық теңдеу. Екі x,y айнымалысының белгісіз функциясы u үшін екінші реттік теңдеу, егер ол u-ның Гессиан матрицасының детерминантында және u-ның екінші реттік ішінара туындыларында сызықтық болса, Монже-Ампер типті болып табылады. Тәуелсіз айнымалылар (x,y) R2 берілген доменінің D бойынша өзгеріп отырады. Бұл термин n тәуелсіз айнымалылар бар ұқсас теңдеулерге де қолданылады. Осыған дейін теңдеу эллипстік болғанда ең толық нәтижелер алынған. Монже-Ампер теңдеулері дифференциалдық геометрияда жиі пайда болады, мысалы, беттердің дифференциалдық геометриясындағы Вейль мен Минковский проблемаларында. Оларды алғаш 1784 жылы Гаспар Монге, ал кейін 1820 жылы Андре Мари Ампер зерттеді. Монже-Ампер теңдеулері теориясының маңызды нәтижелерін Сергей Бернштейн, Алексей Погорелов, Чарльз Фефферман және Луи Ниренберг алды. Жақында Алессио Фигалли мен Луис Каффарелли Монже-Ампер теңдеуінің тұрақтылығы бойынша еңбектері үшін танылды, біріншісі 2018 жылы Филдс медаліне ие болды, ал екіншісі 2023 жылы Абель сыйлығын алды.
In mathematics, a (real) Monge–Ampère equation is a nonlinear second order partial differential equation of special kind. A second order equation for the unknown function u of two variables x,y is of Monge–Ampère type if it is linear in the determinant of the Hessian matrix of u and in the second order partial derivatives of u. The independent variables (x,y) vary over a given domain D of R2. The term also applies to analogous equations with n independent variables. The most complete results so far have been obtained when the equation is elliptic. Monge–Ampère equations frequently arise in differential geometry, for example, in the Weyl and Minkowski problems in differential geometry of surfaces. They were first studied by Gaspard Monge in 1784 and later by André Marie Ampère in 1820. Important results in the theory of Monge–Ampère equations have been obtained by Sergei Bernstein, Aleksei Pogorelov, Charles Fefferman, and Louis Nirenberg. More recently, Alessio Figalli and Luis Caffarelli were recognized for their work on the regularity of the Monge–Ampère equation, with the former winning the Fields Medal in 2018 and the latter the Abel Prize in 2023.
Эллиптикалық нәтижелер
Енді x Rn-дегі домендегі мәндері бар айнымалы деп есептеңіз, ал f ((x, u, Du) - оң функция. Мунге-Ампер теңдеуі - сызықтық емес эллиптикалық бөлшектік дифференциалдық теңдеу (оның сызықтыққа айналуы эллиптикалық деген мағынада), егер адам назарды құрғақ шешімдерге шектесе. Осыған сәйкес L операторы максимум принципі нұсқаларын қанағаттандырады, ал Дирихле проблемасының шешімдері, егер олар бар болса, бірегей болып табылады.
is a nonlinear elliptic partial differential equation (in the sense that its linearization is elliptic), provided one confines attention to convex solutions. Accordingly, the operator L satisfies versions of the maximum principle, and in particular solutions to the Dirichlet problem are unique, provided they exist.
Қолданбалар
Монже-Ампер теңдеулері Риман геометриясы, конформальды геометрия және CR геометриясындағы бірнеше проблемаларда табиғи түрде пайда болады. Бұл қолданбалардың ең қарапайымдарының бірі - Gauss қисықтығы мәселесі. Егер нақты бағаланған K функциясы Rn-дегі Ω доменінде көрсетілген болса, Gauss қисықтығы туралы мәселе Rn+1 гиперүстігін z = u(x) үстіне x ∈ Ω графигі ретінде анықтауға тырысады, сондықтан беттің әрбір нүктесінде Gauss қисықтығы K(x) арқылы беріледі. Нәтижесінде алынған бөлшектік дифференциалдық теңдеу Монже-Ампер теңдеулері Монже-Канторовичтің оптималдық массалық тасымалдау проблемасына байланысты, онда "құн функционалы" Евклид қашықтығымен берілген.
The Monge–Ampère equations are related to the Monge–Kantorovich optimal mass transportation problem, when the "cost functional" therein is given by the Euclidean distance.