Введение
Нелинейное уравнение с частичными дифференциальными уравнениями второго порядка специального типа В математике (реальное) уравнение Монже-Ампера является нелинейным уравнением с частичными дифференциальными уравнениями второго порядка специального типа. Уравнение второго порядка для неизвестной функции u двух переменных x,y является типом Монже-Ампера, если оно линейно в детерминанте Гессианской матрицы u и в частичных производных второго порядка u. Независимые переменные (x,y) изменяются в заданной области D R2. Термин также применяется к аналогичным уравнениям с n независимыми переменными. Наиболее полные результаты до сих пор были получены, когда уравнение является эллиптическим. Уравнения Монже-Ампера часто возникают в дифференциальной геометрии, например, в проблемах Вейла и Минковского в дифференциальной геометрии поверхностей. Впервые их изучил Гаспар Монге в 1784 году, а позже Андре Мари Ампер в 1820 году. Важные результаты в теории уравнений Монже-Ампера были получены Сергеем Бернштейном, Алексеем Погореловым, Чарльзом Фефферманом и Луисом Ниренбергом. Совсем недавно Алессио Фигалли и Луис Каффарелли были признаны за их работу над регулярностью уравнения Монже-Ампера, первым из которых была вручена медаль Филдса в 2018 году, а вторым - премия Абеля в 2023 году.
In mathematics, a (real) Monge–Ampère equation is a nonlinear second order partial differential equation of special kind. A second order equation for the unknown function u of two variables x,y is of Monge–Ampère type if it is linear in the determinant of the Hessian matrix of u and in the second order partial derivatives of u. The independent variables (x,y) vary over a given domain D of R2. The term also applies to analogous equations with n independent variables. The most complete results so far have been obtained when the equation is elliptic. Monge–Ampère equations frequently arise in differential geometry, for example, in the Weyl and Minkowski problems in differential geometry of surfaces. They were first studied by Gaspard Monge in 1784 and later by André Marie Ampère in 1820. Important results in the theory of Monge–Ampère equations have been obtained by Sergei Bernstein, Aleksei Pogorelov, Charles Fefferman, and Louis Nirenberg. More recently, Alessio Figalli and Luis Caffarelli were recognized for their work on the regularity of the Monge–Ampère equation, with the former winning the Fields Medal in 2018 and the latter the Abel Prize in 2023.
Результаты эллиптичности
Предположим, что x - переменная с значениями в области Rn, и что f ((x, u, Du) - положительная функция. Тогда уравнение Монже-Ампера является нелинейным эллиптическим уравнением с частичными дифференциальными расходами (в том смысле, что его линеаризация является эллиптической), при условии, что внимание ограничивается выпуклыми решениями. Соответственно, оператор L удовлетворяет версиям принципа максимума, и в частности решения проблемы Дирихле являются уникальными, если они существуют.
is a nonlinear elliptic partial differential equation (in the sense that its linearization is elliptic), provided one confines attention to convex solutions. Accordingly, the operator L satisfies versions of the maximum principle, and in particular solutions to the Dirichlet problem are unique, provided they exist.
Приложения
Уравнения Монже-Ампера возникают естественным образом в нескольких задачах римановской геометрии, конформной геометрии и геометрии CR. Одно из простейших из этих приложений - это задача предписанной кривизны Гаусса. Предположим, что действительная функция K определена на домене Ω в Rn, задача предписанной кривизны Гаусса стремится определить гиперповерхность Rn+1 как график z = u(x) на x ∈ Ω так, чтобы в каждой точке поверхности кривизна Гаусса была дана K(x). Полученное частичное дифференциальное уравнение - уравнения Монже-Ампера связаны с проблемой оптимальной транспортировки массы Монже-Канторовича, когда "функциональная стоимость" в ней дана евклидовой дистанцией.
The Monge–Ampère equations are related to the Monge–Kantorovich optimal mass transportation problem, when the "cost functional" therein is given by the Euclidean distance.