Кіріспе
Есептеуде, белгісіз интегралдардан туындайтын екіұштылықты білдіретін интеграл тұрақтысы (көбінесе C немесе K арқылы белгіленеді) – функцияның туындысының жалпы түрін жазу үшін оған қосылатын тұрақты сан. Бұл, байланысты домендегі функцияның белгісіз интегралы (яғни, барлық туындыларының жиынтығы) тек тұрақтыға дейін ғана анықталатынын көрсетеді. Бұл тұрақты туындыларды табу процесінде туындайтын негізгі екіұштылықты көрсетеді. Нақтырақ айтқанда, егер функция белгілі бір аралықта анықталған болса және F сол функцияның туындысы болса, онда оның барлық туындылары F + C түрінде жазылады, мұнда C – кез келген тұрақты сан (яғни, C-нің кез келген мәні F-ты дұрыс туындыға айналдырады). Сондықтан, белгісіз интеграл көбінесе жазылады, бірақ қарапайымдылық үшін интегралдар тізімінде интеграл тұрақтысы кейде жіберіліп қалдырылуы мүмкін.
In calculus, the constant of integration, often denoted by (or ), is a constant term added to an antiderivative of a function to indicate that the indefinite integral of (i. e., the set of all antiderivatives of ), on a connected domain, is only defined up to an additive constant. This constant expresses an ambiguity inherent in the construction of antiderivatives. More specifically, if a function is defined on an interval, and is an antiderivative of then the set of all antiderivatives of is given by the functions where is an arbitrary constant (meaning that any value of would make a valid antiderivative). For that reason, the indefinite integral is often written as although the constant of integration might be sometimes omitted in lists of integrals for simplicity.
Қажеттілік
Бір қарағанда, тұрақтының қажеті жоқ сияқты, өйткені оны нөлге теңетуге болады. Сонымен қатар, белгілі интегралдарды есептеудің негізгі теоремасын қолдану кезінде тұрақты әрқашан өзімен өшіріледі. Дегенмен, тұрақтыны нөлге теңдеуге тырысу әрқашан да дұрыс емес. Мысалы, кем дегенде үш түрлі тәсілмен интегралдануы мүмкін:
Сонымен, нөлге теңдегеннің өзі тұрақты қалдыруы мүмкін. Бұл, берілген функция үшін міндетті түрде «ең қарапайым антитуындысы» жоқ дегенді білдіреді. нөлге теңдеудің тағы бір мәселесі – кейде біз белгілі бір нүктеде белгілі бір мәні бар антитуындыны табуды қалаймыз (бастапқы мән есебінде). Мысалы, функциясының x = π нүктесінде 400 мәніне ие антитуындысын алу үшін, тек бір ғана мәні жарамды болады (осы жағдайда ). Бұл шектеуді дифференциалдық теңдеулер тілінде қайта формулиреуге болады. Функцияның белгісіз интегралын табу – бұл дифференциалдық теңдеуді шешумен бірдей. Кез келген дифференциалдық теңдеудің көптеген шешімдері болады, ал әрбір тұрақты жақсы қойылған бастапқы мән есебінің бірегей шешімін көрсетеді. Біздің антитуындысы x = π нүктесінде 100 мәнін қабылдауы керек деген шарт – бұл бастапқы шарт. Әрбір бастапқы шартқа тек бір ғана мәні сәйкес келеді, сондықтан бұл есепті шешудің жолы болмайды. Тағы бір негіздеме абстрактілі алгебрадан келеді. Нақты сандардағы барлық (қолайлы) нақты мәнді функциялар кеңістігі – векторлық кеңістік, ал дифференциалдау операторы – сызықтық оператор. Оператор функцияны нөлге бейнелейді, егер және тек егер бұл функция тұрақты болса. Осылайша, оператордың ядросы – барлық тұрақты функциялар кеңістігі. Белгісіз интегралдау процесі – бұл берілген функцияның кері бейнесін табуға тең. Берілген функция үшін канондық кері бейне жоқ, бірақ барлық осындай кері бейнелердің жиынтығы косет құрайды. Тұрақтыны таңдау – бұл косеттің бір элементін таңдаумен бірдей. Осы контексте, бастапқы мән есебін шешу – бұл бастапқы шарттармен анықталған гипержазықтықта жату деп түсіндіріледі.