Введение

Постоянная, выражающая неоднозначность при вычислении неопределённых интегралов

В математическом анализе постоянная интегрирования, часто обозначаемая (или ), — это постоянный член, добавляемый к первообразной функции , чтобы указать, что неопределённый интеграл (то есть множество всех первообразных ) на связной области определяется с точностью до аддитивной постоянной. Эта постоянная выражает неоднозначность, присущую построению первообразных. Более конкретно, если функция определена на интервале, и является её первообразной, то множество всех первообразных задаётся функциями , где — произвольная постоянная (то есть любое значение сделает правильной первообразной). По этой причине неопределённый интеграл часто записывается как , хотя постоянная интегрирования иногда может быть опущена в списках интегралов для упрощения.

Необходимость

На первый взгляд может показаться, что постоянная избыточна, поскольку её можно установить равной нулю. Кроме того, при вычислении определённых интегралов с использованием фундаментальной теоремы исчисления, эта постоянная всегда сократится. Однако, попытка приравнять постоянную к нулю не всегда оправдана. Например, можно проинтегрировать как минимум тремя различными способами:

Таким образом, установка равной нулю всё равно может оставить неопределённость. Это означает, что для заданной функции не обязательно существует "наиболее простая первообразная". Другая проблема с приравниванием к нулю заключается в том, что иногда требуется найти первообразную, принимающую заданное значение в заданной точке (как в задаче с начальными условиями). Например, чтобы получить первообразную, принимающую значение 400 при x = π, потребуется только одно значение (в данном случае). Это ограничение можно переформулировать на языке дифференциальных уравнений. Нахождение неопределённого интеграла функции эквивалентно решению дифференциального уравнения. Любое дифференциальное уравнение имеет множество решений, и каждая постоянная представляет собой уникальное решение корректной задачи с начальными условиями. Условие, что наша первообразная принимает значение 100 при x = π, является начальным условием. Каждому начальному условию соответствует ровно одно значение, без которого решить задачу было бы невозможно. Существует и другое обоснование, исходящее из абстрактной алгебры. Множество всех (подходящих) вещественнозначных функций на действительных числах является векторным пространством, а оператор дифференцирования – линейным оператором. Этот оператор отображает функцию в ноль тогда и только тогда, когда функция постоянна. Следовательно, ядро оператора дифференцирования – это пространство всех постоянных функций. Процесс неопределённого интегрирования сводится к поиску прообраза заданной функции. Для заданной функции не существует канонического прообраза, но множество всех таких прообразов образует класс эквивалентности. Выбор постоянной эквивалентен выбору элемента этого класса эквивалентности. В этом контексте решение задачи с начальными условиями интерпретируется как принадлежность гиперплоскости, определяемой начальными условиями.