Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометрия мен топологияның математикалық салаларында X жиынтығындағы дөрекі құрылым - X × X карталық көбейтіндісінің белгілі бір қасиеттері бар кіші жиынтықтары, олар метрикалық кеңістіктер мен топологиялық кеңістіктердің үлкен масштабтағы құрылымын анықтауға мүмкіндік береді. Дәстүрлі геометрия мен топологияның басты қызығушылығы кеңістіктің шағын масштабтағы құрылымы: функцияның үздіксіздігі сияқты қасиеттер кішкентай ашық жиынтықтардың немесе көршіліктің кері бейнелерінің өздері ашық болуына байланысты. кеңістіктің шектелгендігі немесе кеңістіктің еркіндік дәрежесі сияқты үлкен масштабтағы қасиеттері мұндай ерекшеліктерге тәуелді емес. Қиын геометрия мен қиын топология кеңістіктің үлкен масштабтағы қасиеттерін өлшеу үшін құралдар береді, ал метрика немесе топология кеңістіктің кіші масштабтағы құрылымы туралы ақпаратты қамтитыны сияқты, қиын құрылым оның үлкен масштабтағы қасиеттері туралы ақпаратты қамтиды. Қатесі, ірі құрылым топологиялық құрылымның үлкен масштабтағы аналогы емес, біркелкі құрылымның аналогы болып табылады.
In the mathematical fields of geometry and topology, a coarse structure on a set X is a collection of subsets of the cartesian product X × X with certain properties which allow the large scale structure of metric spaces and topological spaces to be defined. The concern of traditional geometry and topology is with the small scale structure of the space: properties such as the continuity of a function depend on whether the inverse images of small open sets, or neighborhoods, are themselves open. Large scale properties of a space—such as boundedness, or the degrees of freedom of the space—do not depend on such features. Coarse geometry and coarse topology provide tools for measuring the large scale properties of a space, and just as a metric or a topology contains information on the small scale structure of a space, a coarse structure contains information on its large scale properties. Properly, a coarse structure is not the large scale analog of a topological structure, but of a uniform structure.
Интуиция
Бақыланатын жиынтықтар "кіші" жиынтықтар немесе "басқармалы жиынтықтар" болып табылады: бақыланатын жиынтық - басқармалы, ал оның графигі басқарылатын функция - сәйкестікке "жақын". Шектелген ірі құрылымда бұл жиынтықтар шектелген жиынтықтар болып табылады, ал функциялар біркелкі метрикадағы сәйкестеніктен шекті қашықтықтағылар болып табылады.
The controlled sets are "small" sets, or "negligible sets": a set such that is controlled is negligible, while a function such that its graph is controlled is "close" to the identity. In the bounded coarse structure, these sets are the bounded sets, and the functions are the ones that are a finite distance from the identity in the uniform metric.
Мысалдар
Метрик кеңістіктегі on - осындай шекті барлық кіші жиынтықтардың жиынтығы. Бұл құрылыммен бүтін сандар торы шамамен өлшемді Евклид кеңістігіне тең. Басқарылатын кеңістік a деп аталады. Мұндай кеңістік нүктеге шамамен тең. Шектелген ірі құрылымды метрикалық кеңістік егер және тек егер ол шектелген болса (метриялық кеңістік ретінде) шектеледі (ірі кеңістік ретінде). Баяғы қарапайым құрылым диагональ мен оның кіші жиындарынан ғана тұрады. Бұл құрылымда карта егер және тек егер ол биекция (жинақтар) болса, онда ол - өрескел эквиваленттік. Метрик кеңістіктегі on - бұл барлық үшін осындай барлық кіші жиынтықтардың жиынтығы, бұл барлық үшін осындай компактты жиынтық бар. Жинақтың on диагоналы диагоналынан тыс нүктелердің шекті санын ғана қамтитын кіші жиынтықтармен бірге тұрады. Егер топологиялық кеңістік болса, онда он барлық тиісті кіші жиынды қамтиды, яғни барлық кіші жиынды және салыстырмалы түрде компактты болған кезде салыстырмалы түрде компактты.
The on a metric space is the collection of all subsets of such that is finite. With this structure, the integer lattice is coarsely equivalent to dimensional Euclidean space. A space where is controlled is called a Such a space is coarsely equivalent to a point. A metric space with the bounded coarse structure is bounded (as a coarse space) if and only if it is bounded (as a metric space). The trivial coarse structure only consists of the diagonal and its subsets. In this structure, a map is a coarse equivalence if and only if it is a bijection (of sets). The on a metric space is the collection of all subsets of such that for all there is a compact set of such that for all Alternatively, the collection of all subsets of such that is compact. The on a set consists of the diagonal together with subsets of which contain only a finite number of points off the diagonal. If is a topological space then the on consists of all proper subsets of meaning all subsets such that and are relatively compact whenever is relatively compact.