Введение
В математических областях геометрии и топологии грубая структура на множестве X представляет собой совокупность подмножеств картезианского произведения X × X с определенными свойствами, которые позволяют определять крупномасштабную структуру метрических пространств и топологических пространств. Тревога традиционной геометрии и топологии связана с небольшой масштабной структурой пространства: такие свойства, как непрерывность функции, зависят от того, являются ли образы обратных малых открытых множеств или окрестностей сами открытыми. Крупномасштабные свойства пространства, такие как ограниченность или степень свободы пространства, не зависят от таких особенностей. Грубая геометрия и грубая топология предоставляют инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, и так же, как метрика или топология содержат информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о ее крупномасштабных свойствах. Собственно, грубая структура - это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а однородная структура.
Интуиция
Контролируемые множества являются "малыми" множествами или "незначительными множествами": множество, которое контролируется, является незначительным, в то время как функция, которая контролируется ее графиком, "близка" к тождеству. В ограниченной грубой структуре эти множества являются ограниченными множествами, а функции - это те, которые находятся на конечном расстоянии от тождества в однородной метрике.
Примеры
На метрическом пространстве представляет собой набор всех подмножеств таких, что конечны. С этой структурой цельная решетка примерно эквивалентна размерному евклидовому пространству. Пространство, где контролируется, называется таким пространством, грубо эквивалентным точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой имеет границу (как грубое пространство), если и только если оно ограничено (как метрическое пространство). Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств. В этой структуре карта является грубой эквивалентностью, если и только если она является биекцией (множеств). На метрическом пространстве представляет собой совокупность всех подмножеств таких, что для всех есть компактный набор таких, что для всех Альтернативно, совокупность всех подмножеств таких, что является компактным. На множестве состоит из диагонали вместе с подмножествами, которые содержат только конечное количество точек от диагонали. Если это топологическое пространство, то on состоит из всех собственных подмножеств, означающих, что все подмножества такие, что и относительно компактны, когда относительно компактны.