Теорема Безу об числе точек пересечения алгебраических кривых и гиперповерхностей

Введение

Число точек пересечения алгебраических кривых и гиперповерхностей. Число точек пересечения в алгебраической геометрии. Теорема Безу — утверждение в алгебраической геометрии, касающееся числа общих нулей n многочленов от n переменных. В своей первоначальной формулировке теорема утверждает, что в общем случае число общих нулей равно произведению степеней многочленов. Она названа в честь Этьена Безу. В некоторых элементарных учебниках теорема Безу рассматривается только для случая двух переменных и утверждает, что если две плоские алгебраические кривые степеней m и n не имеют общих компонент, то они имеют mn точек пересечения, считаемых с учётом их кратности, включая точки на бесконечности и точки с комплексными координатами. В современной формулировке теорема гласит, что если N — число общих точек в алгебраически замкнутом поле n проективных гиперповерхностей, заданных однородными многочленами от n + 1 переменных, то N либо бесконечно, либо равно произведению степеней многочленов. При этом конечный случай встречается почти всегда. Для случая двух переменных и аффинных гиперповерхностей, если не учитывать кратности и точки на бесконечности, эта теорема даёт лишь верхнюю оценку числа точек, которая почти всегда достигается. Эта оценка часто называется границей Безу. Теорема Безу является фундаментальной в компьютерной алгебре и эффективной алгебраической геометрии, поскольку она показывает, что вычислительная сложность большинства задач по крайней мере экспоненциальна относительно числа переменных. Следовательно, в этих областях наилучшей достижимой сложности будут обладать алгоритмы, имеющие сложность, полиномиальную относительно границы Безу.

История

В случае плоских кривых, теорему Безу в сущности сформулировал Исаак Ньютон в своем доказательстве леммы 28 первого тома его "Principia" в 1687 году, где он утверждал, что две кривые имеют число точек пересечения, определяемое произведением их степеней. Общая теорема была позже опубликована в 1779 году в труде Этьена Безу «Теория общих алгебраических уравнений». Он предполагал, что уравнения должны быть «полными», что в современной терминологии соответствует понятию «общие». Поскольку для общих многочленов нет точек на бесконечности и все кратности равны единице, формулировка Безу верна, хотя его доказательство не соответствует современным требованиям к строгости. Это, а также тот факт, что понятие кратности пересечения было недоступно в его время, привело к мнению, высказанному некоторыми авторами, что его доказательство не было ни корректным, ни первым доказательством. Доказательство утверждения, учитывающего кратности, требует точного определения кратности пересечения и поэтому было невозможно до XX века. Определения кратности, предложенные в первой половине XX века, использовали непрерывные и бесконечно малые деформации. Следовательно, доказательства этого периода применимы только к полю комплексных чисел. Лишь в 1958 году Жан-Пьер Серр дал чисто алгебраическое определение кратности, что позволило получить доказательство, справедливое для любого алгебраически замкнутого поля. Современные исследования, связанные с теоремой Безу, получили различные верхние оценки для систем многочленов, используя другие свойства многочленов, такие как теорема Бернштейна — Кушниренко, или обобщили ее на широкий класс функций, например, функции Нэша.

Плоскости кривых

Предположим, что X и Y – две плоские проективные кривые, заданные над полем F, не имеющие общих компонент (это условие означает, что X и Y определены полиномами, не имеющими общего делителя положительной степени). Тогда общее число точек пересечения X и Y с координатами в алгебраически замкнутом поле E, содержащем F, считаемое с учётом их кратностей, равно произведению степеней X и Y.

Сродственное дело

Аффинный случай теоремы — это следующее утверждение, которое было доказано в 1983 году Дэвидом Массером и Гисбертом Вюстхольцем. Рассмотрим n аффинных гиперповерхностей, заданных над алгебраически замкнутым полем n полиномами от n переменных, степени d. Тогда либо число точек пересечения бесконечно, либо число точек пересечения, считаемых с учётом их кратностей, не превосходит произведения d^n. Если гиперповерхности находятся в достаточно общем положении, то существует ровно d^n точек пересечения, все с кратностью 1. Эта версия не является прямым следствием общего случая, поскольку возможно конечное число точек пересечения в аффинном пространстве и бесконечно много точек пересечения на бесконечности. Указанное выше утверждение является частным случаем более общего утверждения, которое и является результатом, доказанным Массером и Вюстхольцем. Чтобы сформулировать общий результат, необходимо вспомнить, что точки пересечения образуют алгебраическое множество, и что число точек пересечения конечно тогда и только тогда, когда все компоненты пересечения имеют нулевую размерность (алгебраическое множество положительной размерности содержит бесконечно много точек над алгебраически замкнутым полем). Точка пересечения называется изолированной, если она не принадлежит компоненте пересечения положительной размерности; эта терминология оправдана, поскольку в изолированной точки пересечения существуют окрестности (в топологии Зариски или в обычной топологии для комплексных гиперповерхностей), не содержащие других точек пересечения. Рассмотрим n проективных гиперповерхностей, заданных над алгебраически замкнутым полем n однородными полиномами от n переменных, степени d. Тогда сумма кратностей их изолированных точек пересечения не превосходит произведения d^n. Результат остаётся справедливым для любого числа m гиперповерхностей, если m = n и, в противном случае, если упорядочить степени так, чтобы d_1 ≤ d_2 ≤ ... ≤ d_m. То есть, изолированных точек пересечения не существует, если d_1 = d_m, и в противном случае оценка не превосходит произведения наименьшей степени d_1 и наибольших степеней d_2 * ... * d_m.

The affine case of the theorem is the following statement, that was proven in 1983 by David Masser and Gisbert Wüstholz. Consider n affine hypersurfaces that are defined over an algebraically closed field by n polynomials in n variables, of degrees Then either the number of intersection points is infinite, or the number of intersection points, counted with their multiplicities, is at most the product If the hypersurfaces are in relative general position, then there are exactly intersection points, all with multiplicity 1. This version is not a direct consequence of the general case, because it is possible to have a finite number of intersection points in the affine space, with infinitely many intersection points at infinity. The above statement is a special case of a more general statement, which is the result that Masser and Wüstholz proved. For stating the general result, one has to recall that the intersection points form an algebraic set, and that there is a finite number of intersection points if and only if all component of the intersection have a zero dimension (an algebraic set of positive dimension has an infinity of points over an algebraically closed field). An intersection point is said isolated if it does not belong to a component of positive dimension of the intersection; the terminology make sense, since an isolated intersection point has neighborhoods (for Zariski topology or for the usual topology in the case of complex hypersurfaces) that does not contain any other intersection point. Consider n projective hypersurfaces that are defined over an algebraically closed field by n homogeneous polynomials in variables, of degrees Then, the sum of the multiplicities of their isolated intersection points is at most the product The result remains valid for any number m of hypersurfaces, if one sets in the case and, otherwise, if one orders the degrees for having That is, there is no isolated intersection point if and, otherwise, the bound is the product of the smallest degree and the largest degrees.

Две линии.

Уравнение прямой в евклидовой плоскости является линейным, то есть приравнивает к нулю многочлен первой степени. Следовательно, граница Безу для двух прямых равна 1, что означает, что две прямые либо пересекаются в единственной точке, либо не пересекаются вовсе. В последнем случае прямые параллельны и пересекаются в точке на бесконечности. Это можно проверить с помощью уравнений. Уравнение первой прямой можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом и точкой пересечения с осью y, или в проективных координатах (если прямая вертикальна, можно поменять местами x и y). Если в уравнение второй прямой (в проективных координатах) подставить выражение для y, то получится. Если , то координаты x точки пересечения можно найти, решив последнее уравнение относительно x и полагая 1=t=1. Если , то есть , то две прямые параллельны, поскольку имеют одинаковый угловой коэффициент. Если , то уравнение после подстановки дает 1=t=0. Это соответствует точке на бесконечности в проективных координатах (1, s, 0).

Линия и кривая

Как и выше, уравнение прямой можно записать в проективных координатах как. Если кривая задана в проективных координатах однородным полиномом степени n, то подстановка y дает однородный полином степени n относительно x и t. Основная теорема алгебры подразумевает, что его можно разложить на линейные множители. Каждый множитель определяет отношение координат x и t точки пересечения, а кратность множителя соответствует кратности точки пересечения. Если t рассматривается как координата бесконечности, то множитель, равный t, представляет собой точку пересечения в бесконечности. Если хотя бы одна частная производная полинома p не равна нулю в точке пересечения, то касательная к кривой в этой точке определена (см.), и кратность пересечения больше единицы тогда и только тогда, когда прямая является касательной к кривой. Если все частные производные равны нулю, то точка пересечения является сингулярной, и кратность пересечения не меньше двух.

Многообразие

Понятие кратности является фундаментальным для теоремы Безу, поскольку позволяет получить равенство вместо гораздо более слабого неравенства. Интуитивно, кратность общего корня нескольких многочленов – это число корней, на которые может расщепиться общий корень при незначительном изменении коэффициентов. Например, касательная к кривой – это прямая, которая пересекает кривую в точке, которая расщепляется на несколько точек при небольшом смещении прямой. Это число обычно равно двум (обычные точки), но может быть и больше (три для точек перегиба, четыре для точек возврата и т.д.). Это число является "кратностью касания" касательной. Это определение кратности посредством деформации было достаточно до конца XIX века, но имеет ряд проблем, которые привели к появлению более удобных современных определений: деформациями сложно манипулировать; например, в случае корня одночленного многочлена, для доказательства того, что кратность, полученная деформацией, равна кратности соответствующего линейного множителя многочлена, необходимо знать, что корни являются непрерывными функциями коэффициентов. Деформации нельзя использовать над полями положительной характеристики. Кроме того, существуют случаи, когда удобную деформацию трудно определить (например, в случае более двух плоских кривых, имеющих общую точку пересечения), и даже случаи, когда деформация вообще невозможна. В настоящее время, следуя Жан-Пьеру Серру, кратность обычно определяется как длина локального кольца, связанного с точкой, в которой рассматривается кратность. Большинство конкретных определений можно показать как частный случай определения Серра. В случае теоремы Безу можно избежать общей теории пересечений, поскольку существуют доказательства (см. ниже), которые связывают с каждым входным набором данных теоремы многочлен относительно коэффициентов уравнений, который раскладывается на линейные множители, каждый из которых соответствует одной точке пересечения. Таким образом, кратность точки пересечения – это кратность соответствующего множителя. Доказательство того, что эта кратность равна той, что получается деформацией, вытекает из того факта, что точки пересечения и разложенный многочлен непрерывно зависят от корней.

The concept of multiplicity is fundamental for Bézout's theorem, as it allows having an equality instead of a much weaker inequality. Intuitively, the multiplicity of a common zero of several polynomials is the number of zeros into which the common zero can split when the coefficients are slightly changed. For example, a tangent to a curve is a line that cuts the curve at a point that splits in several points if the line is slightly moved. This number is two in general (ordinary points), but may be higher (three for inflection points, four for undulation points, etc.). This number is the "multiplicity of contact" of the tangent. This definition of a multiplicities by deformation was sufficient until the end of the 19th century, but has several problems that led to more convenient modern definitions: Deformations are difficult to manipulate; for example, in the case of a root of a univariate polynomial, for proving that the multiplicity obtained by deformation equals the multiplicity of the corresponding linear factor of the polynomial, one has to know that the roots are continuous functions of the coefficients. Deformations cannot be used over fields of positive characteristic. Moreover, there are cases where a convenient deformation is difficult to define (as in the case of more than two plane curves having a common intersection point), and even cases where no deformation is possible. Currently, following Jean Pierre Serre, a multiplicity is generally defined as the length of a local ring associated with the point where the multiplicity is considered. Most specific definitions can be shown to be special case of Serre's definition. In the case of Bézout's theorem, the general intersection theory can be avoided, as there are proofs (see below) that associate to each input data for the theorem a polynomial in the coefficients of the equations, which factorizes into linear factors, each corresponding to a single intersection point. So, the multiplicity of an intersection point is the multiplicity of the corresponding factor. The proof that this multiplicity equals the one that is obtained by deformation, results then from the fact that the intersection points and the factored polynomial depend continuously on the roots.

Используя полученную (плоские кривые)

Пусть P и Q – два однородных многочлена от неопределенных x, y, t со степенями p и q соответственно. Их нули – однородные координаты двух проективных кривых. Следовательно, однородные координаты точек их пересечения являются общими нулями P и Q. Группируя степени одного неопределенного, скажем y, получаем унивариантный многочлен, коэффициенты которого являются однородными многочленами от x и t.

По техническим причинам необходимо изменить координаты так, чтобы степени P и Q относительно y равнялись их полным степеням (p и q), и каждая прямая, проходящая через две точки пересечения, не проходила через точку (0, 1, 0) (это означает, что ни у какой пары точек нет одинаковой декартовой координаты x). Результирующий многочлен R(x, t) многочленов P и Q относительно y является однородным многочленом от x и t, обладающим следующим свойством: с , если и только если существует такое, что является общим нулем P и Q (см.). Указанное техническое условие гарантирует, что определено однозначно. Первое техническое условие означает, что при определении результирующего многочлена используются степени p и q; это влечет за собой, что степень R равна pq (см.). Поскольку R – однородный многочлен от двух неопределенных, фундаментальная теорема алгебры подразумевает, что R является произведением pq линейных многочленов. Если определить кратность общего нуля P и Q как число вхождений соответствующего множителя в это произведение, то теорема Безу доказывается. Для доказательства того, что определенная таким образом кратность пересечения совпадает с определением через деформацию, достаточно отметить, что результирующий многочлен и, следовательно, его линейные множители являются непрерывными функциями коэффициентов P и Q. Доказательство равенства с другими определениями кратности пересечения опирается на технические детали этих определений и поэтому выходит за рамки данной статьи.

Используя -результант

В начале 20-го века Фрэнсис Соверби Маколей ввёл многомерную результирующую (также известную как результирующая Маколея) для n однородных многочленов от n переменных, являющуюся обобщением обычной результирующей двух многочленов. Результирующая Маколея — это полиномиальная функция от коэффициентов n однородных многочленов, которая равна нулю тогда и только тогда, когда многочлены имеют нетривиальный (то есть, хотя бы одна компонента не равна нулю) общий корень в алгебраически замкнутом поле, содержащем коэффициенты. U-результирующая является частным случаем результирующей Маколея, также введённой Маколеем. Для n однородных многочленов от n + 1 переменных, U-результирующая является результирующей от и , где коэффициенты — вспомогательные переменные. Хотя многомерный многочлен обычно неприводим, U-результирующую можно разложить на линейные (от ) многочлены над алгебраически замкнутым полем, содержащим коэффициенты . Эти линейные факторы соответствуют общим корням следующим образом: каждому общему корню соответствует линейный фактор, и наоборот. Это доказывает теорему Безу, если кратность общего корня определяется как кратность соответствующего линейного фактора U-результирующей. Что касается предыдущего доказательства, равенство этой кратности определению, данному с помощью деформации, является следствием непрерывности U-результирующей как функции от коэффициентов . Это доказательство теоремы Безу представляется старейшим доказательством, удовлетворяющим современным требованиям к строгости.