Кіріспе
Доғаның ұштары арқылы өтетін түзуге параллель доғаға тангенстің болуы туралы теорема, гармониялық функциялар теориясында.
the theorem in harmonic function theory
Математикада орташа мән теоремасы (немесе Лагранж теоремасы) екі нүкте арасындағы жазық доға үшін, доғаға тангенс осы екі нүктені қосатын секунтаға параллель болатын кем дегенде бір нүкте бар екенін күйкейді. Бұл нақты талдаудың маңызды нәтижелерінің бірі. Бұл теорема интервалдағы функция туралы тұжырымдарды, интервалдың нүктелеріндегі туындылар туралы жергілікті гипотезалардан бастап дәлелдеу үшін қолданылады. Нақтырақ айтқанда, егер функция жабық интервалда үздіксіз және ашық интервалда дифференциалдалатын болса, онда интервалда тангенс доғаның ұштарын қосатын түзуге параллель болатын нүкте табылады, яғни:
Тарих
Синустың кері интерполяциясы үшін осы теореманың ерекше жағдайы алғаш рет Үндістанның Керала астрономия және математика мектебінен шыққан Парамешвара (1380–1460) Говиндасвами және Бхаскара II еңбектеріне жазған түсініктемелерінде сипатталған. Теореманың шектеулі түрін Мишель Роль 1691 жылы дәлелдеді; оның нәтижесі қазір Роль теоремасы деп белгілі және тек полиномдар үшін, есептеу әдістерін қолданбай дәлелденген. Орташа мән теоремасының қазіргі түрі 1823 жылы Огюстен Луи Коши тарапынан айтылып, дәлелденген. Одан бері осы теореманың көптеген түрлері дәлелденді.
Ресми мәлімдеме
Болсын – жабық аралықта үздіріссіз, ал ашық аралықта дифференциалданатын функция, мұнда онда аралықта бірдей болады.
The mean value theorem is a generalization of Rolle's theorem, which assumes , so that the right hand side above is zero. The mean value theorem is still valid in a slightly more general setting. One only needs to assume that is continuous on , and that for every in the limit
exists as a finite number or equals or If finite, that limit equals An example where this version of the theorem applies is given by the real valued cube root function mapping , whose derivative tends to infinity at the origin. The theorem, as stated, is false if a differentiable function is complex valued instead of real valued. For example, define for all real Then
while for any real
These formal statements are also known as Lagrange's Mean Value Theorem.
Орташа мән теоремасы – Ролл теоремасының жалпылауы болып табылады, ол деп есептейді, сондықтан жоғарыдағы оң жақ бөлік нөлге тең. Орташа мән теоремасы сәл жалпы жағдайда да қолданылады. тек үздіріссіз болуы керек және әрбір үшін шек саны бар немесе немесе шекті болса, онда бұл шек саны тең. Теореманың осы түрі қолданылатын мысал – нақты мәнді куб түбірі функциясы, оның туындысы нөлде шексіздікке ұмтылады. Теорема, айтылғандай, егер дифференциалданатын функция нақты мәнді емес, кешенді мәнді болса, жалған. Мысалы, барлық нақты үшін анықтаңыз. Онда кез келген нақты үшін , ал . Бұл ресми тұжырымдар Лагранждың орташа мән теоремасы деп те аталады.
The mean value theorem is a generalization of Rolle's theorem, which assumes , so that the right hand side above is zero. The mean value theorem is still valid in a slightly more general setting. One only needs to assume that is continuous on , and that for every in the limit
exists as a finite number or equals or If finite, that limit equals An example where this version of the theorem applies is given by the real valued cube root function mapping , whose derivative tends to infinity at the origin. The theorem, as stated, is false if a differentiable function is complex valued instead of real valued. For example, define for all real Then
while for any real
These formal statements are also known as Lagrange's Mean Value Theorem.
Кошидің орташа мән теоремасы
Кошидің орташа мән теоремасы, сондай-ақ кеңейтілген орташа мән теоремасы деп аталады, орташа мән теоремасының жалпылауы болып табылады. Ол былай гласи: егер функциялар және жабық аралықта үздіксіз және ашық аралықта дифференциалдалатын болса, онда бір , сондай болады,
which is parallel to the line defined by the points and However, Cauchy's theorem does not claim the existence of such a tangent in all cases where and are distinct points, since it might be satisfied only for some value with , in other words a value for which the mentioned curve is stationary; in such points no tangent to the curve is likely to be defined at all. An example of this situation is the curve given by
which on the interval goes from the point to , yet never has a horizontal tangent; however it has a stationary point (in fact a cusp) at
Cauchy's mean value theorem can be used to prove L'Hôpital's rule. The mean value theorem is the special case of Cauchy's mean value theorem when .
ол нүктелерімен анықталатын түзуге параллель. Алайда, Коши теоремасы және әртүрлі нүктелер болған жағдайларда мұндай жанаманың (тангенстің) бар екенін талап етпейді, себебі ол тек кейбір мәндер үшін ғана орындалуы мүмкін, яғни қисықтың стационарлық нүктесі үшін; мұндай нүктелерде қисыққа жанаманы (тангенсті) анықтау мүмкін емес. Бұл жағдайдың мысалы – интервалда нүктеден нүктеге дейін өтетін қисық, бірақ ешқашан көлденең жанамасы (тангенсі) болмайды; алайда, оның стационарлық нүктесі бар (нақтырақ айтқанда, тоғыс нүктесі) . Кошидің орташа мән теоремасын L'Hôpital ережесін дәлелдеу үшін қолдануға болады. Орташа мән теоремасы – Кошидің орташа мән теоремасының ерекше жағдайы, егер .
which is parallel to the line defined by the points and However, Cauchy's theorem does not claim the existence of such a tangent in all cases where and are distinct points, since it might be satisfied only for some value with , in other words a value for which the mentioned curve is stationary; in such points no tangent to the curve is likely to be defined at all. An example of this situation is the curve given by
which on the interval goes from the point to , yet never has a horizontal tangent; however it has a stationary point (in fact a cusp) at
Cauchy's mean value theorem can be used to prove L'Hôpital's rule. The mean value theorem is the special case of Cauchy's mean value theorem when .
Функция a,b ашық аралығында дифференциалдалады
Бірінші шарттың қажеттілігін [1,1] аралығында дифференциалдалмайтын функцияның қарсы мысалы арқылы көруге болады.
Орташа мән теоремасының ықтималдық аналогы
X және Y теріс емес кездейсоқ айнымалылар болсын, олар үшін E[X] < E[Y] < ∞ (яғни, X стохастикалық тәртіп бойынша Y-ден кіші). Онда абсолютті үздіксіз теріс емес кездейсоқ Z айнымалысы бар, оның ықтималдық тығыздық функциясы ...
g өлшенетін және дифференциалданатын функция болсын, олар үшін E[g(X)], E[g(Y)] < ∞, ал оның туындысы g′ өлшенетін және кез келген y ≥ x ≥ 0 үшін [x, y] аралығында Риман интегралданатын болсын. Онда E[g′(Z)] шекті және ...
Күрделі айнымалылардағы орташа мән теоремасы
Жоғарыда айтылғандай, теорема дифференциалданатын комплекс мәнді функциялар үшін қолданылмайды. Оның орнына теореманың жалпыламасы былай тұжырымдалады:
Let f : Ω → C be a holomorphic function on the open convex set Ω, and let a and b be distinct points in Ω. Then there exist points u, v on the interior of the line segment from a to b such that
Where Re is the real part and Im is the imaginary part of a complex valued function.
f: Ω → C функциясы ашық дөңгелек жиын Ω-да голоморфты болсын, және a мен b нүктелері Ω-дағы әртүрлі нүктелер болсын. Онда a-дан b-ге дейінгі кесіндінің ішкі бөлігінде u, v нүктелері табылады, мұнда Re – нақты бөлігі, ал Im – комплекс мәнді функцияның жолғары бөлігі.
Let f : Ω → C be a holomorphic function on the open convex set Ω, and let a and b be distinct points in Ω. Then there exist points u, v on the interior of the line segment from a to b such that
Where Re is the real part and Im is the imaginary part of a complex valued function.