Введение

О существовании касательной к дуге, параллельной прямой, проходящей через ее конечные точки – теорема в теории гармонических функций.

В математике теорема о среднем значении (или теорема Лагранжа) утверждает, в общих чертах, что для заданной плоской дуги между двумя конечными точками существует по крайней мере одна точка, в которой касательная к дуге параллельна секущей, проходящей через ее конечные точки. Это один из важнейших результатов в математическом анализе. Эта теорема используется для доказательства утверждений о функции на интервале, исходя из локальных предположений о производных в точках интервала. Более точно, теорема утверждает, что если – непрерывная функция на замкнутом интервале и дифференцируемая на открытом интервале , то существует точка в такая, что касательная в параллельна секущей, проходящей через конечные точки и , то есть,

История

Особый случай этой теоремы для обратной интерполяции синуса был впервые описан Парамешварой (1380–1460) из Керальской школы астрономии и математики в Индии в его комментариях к трудам Говиндасвами и Бхаскары II. Ограниченная форма теоремы была доказана Мишелем Ролем в 1691 году; результатом стала теорема Ролля, известная и сегодня, и она была доказана только для полиномов, без использования методов дифференциального и интегрального исчисления. Теорема о среднем значении в ее современной формулировке была сформулирована и доказана Огюстеном Луи Коши в 1823 году. С тех пор было доказано множество вариантов этой теоремы.

Официальное заявление

Пусть f — непрерывная функция на замкнутом интервале [a, b] и дифференцируемая на открытом интервале (a, b), где a < b. Тогда существует такая точка c в (a, b), что

Теорема о среднем значении является обобщением теоремы Ролля, которая предполагает f(a) = f(b), так что правая часть выше равна нулю. Теорема о среднем значении все еще справедлива в несколько более общем случае. Достаточно предположить, что f непрерывна на [a, b], и что для каждой точки x в (a, b) предел

существует как конечное число или равен +∞ или -∞. Если предел конечен, то он равен f'(x). Пример, для которого применима эта версия теоремы, — функция кубического корня из действительных чисел, производная которой стремится к бесконечности в начале координат. Теорема, сформулированная таким образом, неверна, если дифференцируемая функция принимает комплексные значения вместо действительных. Например, определим f(x) = x² для всех действительных x. Тогда

в то время как f'(x) = 2x для любого действительного x. Эти формальные утверждения также известны как теорема Лагранжа о среднем значении.

Теорема средней стоимости Коши

Теорема средней стоимости Коши, также известная как расширенная теорема средней стоимости, является обобщением теоремы средней стоимости. Она утверждает: если функции f и g непрерывны на замкнутом интервале [a, b] и дифференцируемы на открытом интервале (a, b), то существует такое c, что

параллельна прямой, определенной точками (a, f(a)) и (b, f(b)). Однако теорема Коши не утверждает существование такой касательной во всех случаях, когда a и b – различные точки, поскольку она может выполняться только для некоторого значения c с a < c < b, иными словами, для значения, при котором упомянутая кривая является стационарной; в таких точках касательная к кривой, вероятно, не будет определена вообще. Примером такой ситуации является кривая, задаваемая уравнением

которая на интервале [0, 1] идет от точки (0, 0) до (1, 1), но никогда не имеет горизонтальной касательной; однако она имеет стационарную точку (фактически, точку возврата) в точке 1/2. Теорема средней стоимости Коши может быть использована для доказательства правила Лопиталя. Теорема средней стоимости является частным случаем теоремы средней стоимости Коши, когда g(x) = x.

Функция дифференцируемая на открытом интервале a,b

Необходимость первого условия можно увидеть на контрпримере, где функция на [1, 1] недифференцируема.

Вероятностный аналог теоремы среднего значения

Пусть X и Y – неотрицательные случайные величины, такие, что E[X] < E[Y] < ∞ (то есть X меньше Y в обычном стохастическом порядке). Тогда существует абсолютно непрерывная неотрицательная случайная величина Z, имеющая функцию плотности вероятности. Пусть g – измеримая и дифференцируемая функция, такая, что E[g(X)], E[g(Y)] < ∞, и пусть ее производная g′ измерима и интегрируема по Риману на интервале [x, y] для всех y ≥ x ≥ 0. Тогда E[g′(Z)] конечен и

Теорема средней величины в сложных переменных

Как отмечалось выше, теорема не выполняется для дифференцируемых функций комплексного переменного. Вместо этого формулируется обобщение теоремы:

Пусть f : Ω → C — голоморфная функция на открытом выпуклом множестве Ω, и пусть a и b — различные точки в Ω. Тогда существуют точки u и v во внутренней части отрезка, соединяющего точки a и b, такие что

где Re — действительная часть, а Im — мнимая часть функции комплексного переменного.