Кіріспе
Кванттық гравитация теориясы, кванттық механика мен жалпы салыстырмалылықты біріктіру. Loop (LQG) кванттық гравитация теориясы – Стандартты модельдің материясын, ішкі кванттық гравитация үшін құрылған шеңберге енгізетін кванттық гравитация теориясы. Бұл, гравитацияны құпия механизм (күш) ретінде қарастырудың орнына, Альберт Эйнштейннің геометриялық формуласына тікелей негізделген кванттық гравитация теориясын жасауға жасалған әрекет. LQG теориясы бойынша, кеңістік пен уақыт құрылымы өте ұсақ тоқыма немесе желіге тоқылған шекті циклдерден тұрады. Бұл циклдер желілері спиндік желілер деп аталады. Спиндік желінің эволюциясы немесе спин көбігінің масштабы Планк ұзындығына жуық, шамамен 10−35 метр, ал одан кіші масштабтар мағынасыз. Осылайша, материя ғана емес, кеңістік те атомдық құрылымды қалайды. Әлем бойынша 30-ға жуық зерттеу тобын қамтитын зерттеу салалары кванттық кеңістіктің негізгі физикалық болжамдарын және математикалық сипаттамасын бөліседі. Зерттеулер екі бағытта дамыды: дәстүрлі каноникалық Loop кванттық гравитациясы және спин көбік теориясы деп аталатын жаңа ковариантты Loop кванттық гравитациясы. Loop кванттық гравитациясының тікелей нәтижесі ретінде ұсынылған ең дамыған теория Loop кванттық космология (LQC) деп аталады. LQC ерте ғаламды зерттеуді дамытады, Үлкен жарылыс тұжырымын, Үлкен секірудің кең теориясына енгізеді, ол Үлкен жарылысты қысқару кезеңінен кейін келетін кеңею кезеңінің басталуы ретінде қарастырады, бұл Үлкен тығырыл деп сипатталған.
Loop quantum gravity (LQG) is a theory of quantum gravity that incorporates matter of the Standard Model into the framework established for the intrinsic quantum gravity case. It is an attempt to develop a quantum theory of gravity based directly on Albert Einstein's geometric formulation rather than the treatment of gravity as a mysterious mechanism (force). As a theory, LQG postulates that the structure of space and time is composed of finite loops woven into an extremely fine fabric or network. These networks of loops are called spin networks. The evolution of a spin network, or spin foam, has a scale on the order of a Planck length, approximately 10−35 meters, and smaller scales are meaningless. Consequently, not just matter, but space itself, prefers an atomic structure. The areas of research, which involve about 30 research groups worldwide, share the basic physical assumptions and the mathematical description of quantum space. Research has evolved in two directions: the more traditional canonical loop quantum gravity, and the newer covariant loop quantum gravity, called spin foam theory. The most well developed theory that has been advanced as a direct result of loop quantum gravity is called loop quantum cosmology (LQC). LQC advances the study of the early universe, incorporating the concept of the Big Bang into the broader theory of the Big Bounce, which envisions the Big Bang as the beginning of a period of expansion that follows a period of contraction, which has been described as the Big Crunch.
Тарих
1986 жылы Абхай Аштекар Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясын, негізгі физиканың қалған бөлігіне, әсіресе Янг-Миллс теориясына жақын тілмен қайта тұжырымдады. Содан кейін Тед Джейкобсон мен Ли Смолин, кванттық гравитацияның Wheeler-DeWitt теңдеуі деп аталатын формальды теңдеуі, жаңа Аштекар айнымалыларында жазылғанда циклдармен белгіленген шешімдерге ие екенін анықтады. Карло Ровелли мен Смолин осы циклдік шешімдер арқылы гравитацияның бұрылмалы емес және фонға тәуелсіз кванттық теориясын анықтады. Хорхе Пуллин мен Ежи Левандовски циклдардың қиылысуы теорияның дұрыстығы үшін маңызды екенін, ал теорияны қиылысатын циклдар немесе графтар арқылы тұжырымдау қажет екенін түсінді. 1994 жылы Ровелли мен Смолин аудан мен көлемге қатысты теорияның кванттық операторларының дискретті спектрі бар екенін көрсетті. Яғни, геометрия кванталды. Бұл нәтиже кванттық геометрияның күйлерінің нақты негізін анықтайды, ол Роджер Пенроуздың спин желілерімен белгіленді, олар спиндермен белгіленген графтар. Динамиканың канондық нұсқасын Томас Тиман жасады, ол аномалиясыз Гамильтон операторын анықтады және математикалық тұрғыдан дұрыс, фонға тәуелсіз теорияның бар екенін көрсетті. Динамиканың ковариантты немесе "спин көбігі" нұсқасы Франция, Канада, Ұлыбритания, Польша және Германиядағы зерттеу топтарының бірнеше онжылдық бірлескен жұмысымен әзірленді. Ол 2008 жылы аяқталды, нәтижесінде ауысу амплитудаларының отбасы анықталды, олар классикалық лимитте жалпы салыстырмалылық теориясының қысқартуларына байланысты болуы мүмкін. Бұл амплитудалардың шектілігі 2011 жылы дәлелденді. Бұл оң космологиялық тұрақтының болуын қажет етеді, бұл Ғаламның кеңеюінің байқалған үдеуімен сәйкес келеді.
Тәуелсіздік тарихы
LQG формальды түрде негізге тәуелсіз, яғни LQG теңдеулері кеңістік пен уақытқа енбеді немесе оған тәуелді емес (оның инвариантты топологиясынан басқа). Керісінше, олар Планк ұзындығынан 10 есе үлкен қашықтықта кеңістік пен уақыттың пайда болуына себеп болады деп күтілуде. LQG-дегі негізге тәуелсіздік мәселесі әлі де толық шешілмеген қырлары бар. Мысалы, кейбір туындылар топологияның белгілі бір таңдауын қажет етеді, ал кез келген дұрыс кванттық гравитация теориясы топологияның динамикалық процесс ретінде өзгеруін қамтуы керек. Физиканың жүзеге асырылатын "орны" ретіндегі кеңістік-уақыттың объективті физикалық мағынасы жоқ, оның орнына гравитациялық өзара әрекеттесу әлемді құрайтын өрістердің бірі ретінде қарастырылады. Бұл кеңістік-уақыттың релятивистік түсіндірілуі деп аталады. LQG-де жалпы салыстырмалылықтың бұл аспектісі маңызды роль атқарады және физикалық күйлердің диффеоморфизмдердің генераторларына қатысты инвариантты болуын талап ету арқылы бұл симметрия сақталады. Бұл шарттың түсіндірілуі таза кеңістіктік диффеоморфизмдер үшін жақсы түсініледі. Алайда, уақытты қамтитын диффеоморфизмдерді (Гамильтон шектеуі) түсіну күрделірек, себебі ол динамикамен және жалпы салыстырмалылықтағы "уақыт мәселесі" деп аталатын нәрсемен байланысты. Бұл шектеуді есепке алуға арналған жалпы қабылданған есептеу аясы әлі табылған жоқ. Кванттық Гамильтон шектеуіне ықтимал үміткер – Тиман енгізген оператор.
Дирактың байқалатын элементтері
Шектеулер бастапқы фазалық кеңістікте шектеу бетін анықтайды. Шектеулердің калибровкалық қозғалыстары барлық фазалық кеңістікке қолданылады, бірақ олар шектеу бетін өзгеріссіз қалдырады, сондықтан калибровкалық түрлендірулер астында гипербеттегі нүктенің траекториясы оның ішінде толығымен жататын траектория болады. Дирактың байқалатын шамалары – бұл Poisson қашалары шектеу теңдеулері орындалғанда барлық шектеулермен коммутациялайтын фазалық кеңістік функциялары, яғни олар теорияның калибровкалық түрлендірулері бойынша инвариантты болып табылатын шектеу бетінде анықталған шамалар. Содан кейін, тек шектеуді шешу және оған қатысты Дирактың байқалатын шамаларын анықтау бізді шектеулермен бірге Арноуитт-Дезер-Миснер (ADM) фазалық кеңістігіне қайтарады. Жалпы салыстырмалылықтың динамикасы шектеулермен туындайды, және уақыт бойынша эволюцияны сипаттайтын алты Эйнштейн теңдеуін (іс жүзінде калибровкалық түрлендіру) үш метриканың және оның конъюгатты импульсінің кеңістіктік диффеоморфизм мен Гамильтон шектеуінің сызықтық комбинациясының Poisson қашаларын есептеу арқылы алуға болады. Физикалық фазалық кеңістікті анықтайтын шектеулердің нөлге теңесуі – Эйнштейннің қалған төрт теңдеуі.
that is, they are quantities defined on the constraint surface that are invariant under the gauge transformations of the theory. Then, solving only the constraint and determining the Dirac observables with respect to it leads us back to the Arnowitt–Deser–Misner (ADM) phase space with constraints The dynamics of general relativity is generated by the constraints, it can be shown that six Einstein equations describing time evolution (really a gauge transformation) can be obtained by calculating the Poisson brackets of the three metric and its conjugate momentum with a linear combination of the spatial diffeomorphism and Hamiltonian constraint. The vanishing of the constraints, giving the physical phase space, are the four other Einstein equations.
LQG-нің гамильтондық шектеуі
Каноникалық кванттық гравитацияның ұзақ тарихында Гамильтон шектеуін кванттық оператор ретінде (Уилер-ДеВит теңдеуі) математикалық тұрғыдан қатаң формулировать ету өте қиын мәселе болды. 1996 жылы циклдік бейнелеуде математикалық жағынан жақсы анықталған Гамильтон шектеуі соңымен жасалды. Оның құрылымы туралы толыққанды мәліметтерді LQG-нің Гамильтон шектеуі мақаласына қалдырамыз. Бұл, Гаусс заңының кванттық нұсқаларымен және циклдік бейнелеуде жазылған кеңістіктік диффеоморфизм шектеулерімен бірге, LQG (қазіргі заманғы каноникалық кванттық жалпы салыстырмалылық теориясы) негізгі теңдеулерін құрайды. Осы шектеулермен жойылмайтын күйлерді (физикалық күйлерді) табу, сондай-ақ тиісті физикалық ішкі көбейтуді және байқалатын шамаларды анықтау – LQG-нің техникалық жағының басты мақсаты. Гамильтон операторының маңызды ерекшелігі – ол тек төбелерде ғана әрекет етеді (осының салдарынан Тиманның Гамильтон операторы, Аштекар операторы сияқты, қиылыспайтын циклдерді жояды, бірақ енді бұл тек формалды емес, қатаң математикалық мағынаға ие). Нақтырақ айтқанда, оның әрекеті кем дегенде үш және одан жоғары валенттіліктері бар төбелерде нөлден өзгеше болады және бастапқы графтың әр төбесіне сызықтар қосылып, төбеге жақын байланыстардың белгілері өзгеретін жаңа спин желілерінің сызықтық комбинациясына әкеледі.
Спин көбіктері
Лүпілік кванттық гравитацияда (LQG) спиндік желі 3 өлшемді гипербеттегі гравитациялық өрістің "кванттық күйін" көрсетеді. Барлық мүмкін спиндік желілер жиынтығы (немесе, дәлірек айтқанда, "s түйіндері" – яғни диффеоморфизмдер бойынша спиндік желілердің эквиваленттілік кластары) санаулы; ол LQG Гильберт кеңістігінің негізін құрайды. Физикада спин көбігі – кванттық гравитацияның Фейнмандық жол интегралы (функционалдық интеграл) сипаттамасын алу үшін қосылатын конфигурациялардың бірін білдіретін екі өлшемді жақтарынан құралған топологиялық құрылым. Ол лүпілік кванттық гравитациямен тығыз байланысты.
Гамильтондық шектеу операторынан алынған спин көбігі
Осы бөлімде және ондағы сілтемелерді қараңыз. Гамильтондық шектеу «уақыт» эволюциясын тудырады. Гамильтондық шектеуді шешу кванттық күйлердің бастапқы спиндік желі күйінен соңғы спиндік желі күйіне дейін «уақыт» ішінде қалай дамығанын көрсетуі керек. Гамильтондық шектеуді шешудің бір жолы Дирак дельта-функциясы деп аталады. Әрекеттердің әртүрлі тізбегі бойынша қосындыны бастапқы спиндік желіні соңғы спиндік желіге жіберетін «уақыт» эволюциясындағы «өзара әрекеттесу нүктелерінің» әртүрлі тарихы бойынша қосынды ретінде көруге болады. Гамильтондық оператор әрбір әрекетте жаңа қабырғаны нүктеге қосады. Бұл спин көбік сипаттамасының негізін құрайтын екі кешенді құрылымды (қабырғалармен біріктірілген беттердің комбинаторлық жиынтығы, олар өз кезегінде нүктелерде біріктіріледі) тудырады. Біз бастапқы спиндік желіні бетін сызып өте отырып алға қарай дамытамыз, ал Гамильтондық шектеу операторының әрекеті нүктеден басталатын жаңа жазық бетті жасайды. Біз спиндік желі күйінің нүктесіне Гамильтондық шектеудің әрекетін қолдану арқылы әрбір «өзара әрекеттесуге» амплитуданы тағайындауға болады (Фейнман диаграммаларымен салыстыру). Төмендегі суретті қараңыз. Бұл каноникалық LQG-ні тура жол интегралы сипаттамасына байланыстыруға талпынудың жолын ашады. Спиндік желілер кванттық кеңістікті сипаттағандай, осы жол интегралдарына немесе тарих бойынша қосындыларға үлес қосатын әрбір конфигурация «кванттық кеңістік-уақытты» сипаттайды. Олардың сабын көбіктеріне ұқсастығы және олардың белгілену әдісі Джон Баез осы «кванттық кеңістік-уақыттарды» «спин көбіктері» деп атады. Дегенмен, бұл тәсілде бірнеше қиындықтар бар, мысалы, Гамильтондық оператор өзін-өзі қоса алмайды, тіпті ол нормальды оператор да емес (яғни оператор өзінің қоса алмайтын түрімен алмаспайды), сондықтан спектрлік теореманы жалпы экспонента анықтау үшін қолдануға болмайды. Ең маңызды мәселе – бұл бір-бірімен алмаспайды, содан кейін формальды шама тіпті (жалпыланған) проекторды да анықтай алмайтыны көрсетіледі. Бас шектеу (төменде қараңыз) осы проблемалардан зардап шекпейді және каноникалық теорияны жол интегралы формуласына байланыстырудың жолын ұсынады.
БФ теориясынан алынған спин көбіктері
Жол интегралын құрудың басқа да тәсілдері бар екені анықталды, бірақ олардың Гамильтондық формализммен байланысы одан да нашар түсініледі. Бір жолы – BF теориясымен бастау. Бұл теория жалпы салыстырмалылық теориясынан қарапайым, оның жергілікті еркіндік дәрежесі жоқ, сондықтан ол өрістердің тек топологиялық қасиеттеріне ғана байланысты. BF теориясы – топологиялық өріс теориясы деп аталады. Күтпеген нәрсе, жалпы салыстырмалылық BF теориясынан бір шектеуді қою арқылы алынуы мүмкін. BF теориясы бір өрісті қамтиды, және егер сол өріс екі тетрадтың (антисимметриялық) көбейтіндісі ретінде таңдалса (тетрадтар – үштіктерге ұқсас, бірақ төрт кеңістік-уақыт өлшемділігінде), онда жалпы салыстырмалылықты қалпына келтіруге болады. Өрістің екі тетрадтың көбейтіндісімен берілгендігі – қарапайымдық шектеуі деп аталады. Топологиялық өріс теориясының спин көбік динамикасы жақсы зерттелген. Осы қарапайым теория үшін спин көбік "қимыл-тесеру" амплитудалары берілген кезде, жалпы салыстырмалылық үшін жол интегралын алу үшін қарапайымдық шарттарын іске асыруға тырысады. Спин көбік моделін құрудың қиын міндеті – кванттық теорияда осы қарапайымдық шектеуін қалай қолдану керек деген сұраққа дейін тоғысып келеді. Бұл үшін алғашқы әрекет – әйгілі Барретт-Крейн моделі болды. Бірақ бұл модель мәселілі болып шықты, мысалы, дұрыс классикалық шекке жету үшін жеткілікті еркіндік дәрежесі болмаған сияқты. Қарапайымдық шектеуі кванттық деңгейде тым күшті қойылған, және ол тек күтілетін мәндер тұрғысынан ғана қойылуы керек, дәл сияқты, кванттық электродинамиканың Гупта-Блюлер формализміндегі Лоренц калибровкасы сияқты. Жаңа модельдер енді ұсынылып жатыр, кейде қарапайымдық шарттарын әлсіз мағынада қолдануға бағытталған. Мұндағы тағы бір қиындық – спин көбіктері кеңістік-уақыттың дискреттелуіне негізделген. Бұл топологиялық өріс теориясы үшін ешқандай мәселе тудырмаса да, өйткені оның жергілікті еркіндік дәрежесі жоқ, ол жалпы салыстырмалылық үшін мәселе тудырады. Бұл мәселе – триангуляцияға тәуелділік деп аталады.
(tetrads are like triads but in four spacetime dimensions), one recovers general relativity. The condition that the field be given by the product of two tetrads is called the simplicity constraint. The spin foam dynamics of the topological field theory is well understood. Given the spin foam 'interaction' amplitudes for this simple theory, one then tries to implement the simplicity conditions to obtain a path integral for general relativity. The non trivial task of constructing a spin foam model is then reduced to the question of how this simplicity constraint should be imposed in the quantum theory. The first attempt at this was the famous Barrett–Crane model. However this model was shown to be problematic, for example there did not seem to be enough degrees of freedom to ensure the correct classical limit. It has been argued that the simplicity constraint was imposed too strongly at the quantum level and should only be imposed in the sense of expectation values just as with the Lorenz gauge condition in the Gupta–Bleuler formalism of quantum electrodynamics. New models have now been put forward, sometimes motivated by imposing the simplicity conditions in a weaker sense. Another difficulty here is that spin foams are defined on a discretization of spacetime. While this presents no problems for a topological field theory as it has no local degrees of freedom, it presents problems for GR. This is known as the problem triangularization dependence.
Спин көбіктерінің қазіргі заманғы құрастырылуы
Классикалық қарапайымдық шектеуін қолдану BF теориясынан жалпы салыстырмалылықты қалпына келтіргендей, тиісті кванттық қарапайымдық шектеуі кванттық BF теориясынан кванттық гравитацияны қалпына келтіруі күтілуде. Энгл, Перейра және Ровелли, Фрейдель мен Краснов, сондай-ақ Ливине мен Специалие жақсы қасиеттері бар спин көбік өзара әрекеттесу амплитудаларын анықтау бойынша маңызды прогресс жасады. EPRL FK спин көбігі мен LQG-нің каноникалық формуласы арасында байланыс орнатуға әрекеттер жасалды.
Бас шектеу операторынан алынған спин көбігі
Төмендегіні қараңыз.
Жартылай классикалық шекті және циклдік кванттық гравитация
Классикалық шек – физикалық теорияның классикалық механиканы жуықтау қабілеті. Ол классикалық емес мінез-құлықты болжауға қабілетті физикалық теориялармен қолданылады. Кванттық гравитацияның кез келген үміткер теориясы Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясын кванттық теорияның классикалық шегі ретінде қайта жасай білуі керек. Бұл кванттық өріс теорияларының ерекшелігіне байланысты кепілденбеген нәрсе, себебі олардың әртүрлі секторлары бар, олар статистикалық жүйелердің термодинамикалық шегінде пайда болатын әртүрлі фазаларға ұқсас. Әртүрлі фазалар физикалық жағынан өзгеше болғандай, кванттық өріс теориясының әртүрлі секторлары да өзгеше. LQG физикалық емес секторға жатуы мүмкін – онда жалпы салыстырмалылық теориясы жартылай классикалық шекте қалпына келтірілмейді, немесе физикалық сектор мүлдем болмауы мүмкін. Сонымен қатар, физикалық Гильберт кеңістігі кванттық аномалиялардан аулақ бола отырып, алынған кванттық теорияның классикалық теорияға оралуын қамтамасыз ету үшін жеткілікті жартылай классикалық күйлерді қамтуы керек; әйтпесе, классикалық теорияда баламасы жоқ физикалық Гильберт кеңістігіне шектеулер қойылады, бұл кванттық теорияның классикалық теорияға қарағанда азаттық дәрежесінің аз екенін білдіреді. Аштекар және авторлар анықтағандай, циклдік өрнекеудің бірегейлігін анықтайтын теоремалар (яғни, Хилберт кеңістігінің нақты бір түрі және дұрыс циклдік алгебраны қайта жасайтын сәйкес операторлар) екі топтан (Левандовски, Околоу, Сальман және Тиман; және Кристиан Флейшхак) алынған. Бұл нәтиже орнатылар алдында, сол циклдік алгебраны шақыратын операторлары бар басқа Хилберт кеңістіктерінің мысалдары болуы мүмкін бе, жоқ па, белгісіз болды. Бұл бірегейлік теоремалары басқалардың жоқ екенін көрсетеді, сондықтан егер LQG дұрыс жартылай классикалық шекке ие болмаса, онда теоремалар кванттық гравитацияның циклдік өрнекеуінің соңына апарады.
Бас шектеу
Тиманның Loop Quantum Gravity (LQG) үшінгі Master Constraint Programme шексіз көп Гамильтон шектеуіш теңдеулерін бір ғана бас шектеуіш ретінде енгізудің классикалық балама жолы ретінде ұсынылды, бұл шектеуіштердің квадратын қамтиды. Бас шектеуді қолдануға алғашқы қарсылық, ол көзге көріне байқалатын шамалар туралы ақпаратты кодтамайтын сияқты болды; себебі бас шектеу шектеуде квадраттық болып келеді, кез келген шамамен оның Пуассон жақшасын есептегенде, нәтиже шектеуге пропорционал болады, сондықтан шектеулер қолданылғанда нөлге теңеледі және осылайша фазалық кеңістіктің нақты функцияларын іріктеп алмайды. Дегенмен, фазалық кеңістікте кем дегенде екі рет дифференциалданатын функцияның қарастырылатын шектеулерге қатысты әлсіз Дирак байқалатын шама болып табылатыны анықталды. Осылайша, бас шектеу байқалатын шамалар туралы ақпаратты қамтиды. Маңыздылығы себепті, бұл негізгі теңдеу деп аталады. Бас шектеудің Пуассон алгебрасы нағыз Ли алгебрасы болып табылады, бұл шексіз көп Гамильтон шектеулерінің шешімдерін құру үшін, сондай-ақ оларға физикалық ішкі көбейтуді және Дирак байқалатын шамаларын құру үшін, refined algebraic quantization (RAQ) деп белгілі әдіс, яғни топты орташалау әдісін қолдану мүмкіндігін ашады.
is where is at least a twice differentiable function on phase space is equivalent to being a weak Dirac observable with respect to the constraints in question. So the master constraint does capture information about the observables. Because of its significance this is known as the master equation. That the master constraint Poisson algebra is an honest Lie algebra opens the possibility of using a method, known as group averaging, in order to construct solutions of the infinite number of Hamiltonian constraints, a physical inner product thereon and Dirac observables via what is known as refined algebraic quantization, or RAQ.
Бас шектеуді сынау
Бастапқы түріндегі шектеулер өте ерекше, осы себепті оларды сынақ функциялары арқылы интегралдау қажет болды, нәтижесінде "жууылған" шектеулер алынды. Дегенмен, жоғарыда келтірілген бас шектеу теңдеуі, екі бастапқы шектеудің көбейтіндісін қамтитын, тіпті де ерекше болып көрінеді (кеңістік бойынша интегралдауға қарамастан). Шектеуді квадраттау қауіпті, себебі бұл тиісті оператордың ультракүлгін мінез-құлқының нашарлауына алып келуі мүмкін, сондықтан бас шектеу бағдарламасына сақтықпен қарау керек. Осы бағдарлама тривиальды емес шектеу алгебраларымен, еркін және өзара әсерлесетін өріс теориялары бар бірнеше модельдік жүйелерде сәтті сыналып көрілді. LQG үшін бас шектеу нақты оң, өзін-өзі қосатын оператор ретінде белгіленді, ал LQG-нің физикалық Гильберт кеңістігі бос емес екені көрсетілді – бұл кванттық жалпы салыстырмалылық теориясы ретінде қолданылуы үшін LQG-нің өтетін сәйкестік тесті.
Бас шектеудің қолданылуы
Бас шектеу физикалық ішкі көбейтіндіні жуықтау және жол интегралдарын қатаң анықтау әрекеттерінде пайдаланылды. LQG-ге қатысты тұрақты дискреттеулер әдісі – каноникалық теорияның физикалық Гильберт кеңістігін құруға бағытталған бас шектеу бағдарламасының қолданылуы.
Бас шектеуден алынған спин көбігі
Бас шектеуді басқа шектеулерді қосу үшін оңай жалпылауға болады. Ол кеңейтілген бас шектеу деп аталады, оны We деп белгілейміз. Біз кеңейтілген бас шектеуді анықтай аламыз, ол Гамильтондық шектеуді және кеңістіктік диффеоморфизм шектеуін бір оператор ретінде қолданады.
Setting this single constraint to zero is equivalent to and for all in This constraint implements the spatial diffeomorphism and Hamiltonian constraint at the same time on the Kinematic Hilbert space. The physical inner product is then defined as
(as ). A spin foam representation of this expression is obtained by splitting the parameter in discrete steps and writing
The spin foam description then follows from the application of on a spin network resulting in a linear combination of new spin networks whose graph and labels have been modified. Obviously an approximation is made by truncating the value of to some finite integer. An advantage of the extended master constraint is that we are working at the kinematic level and so far it is only here we have access semiclassical coherent states. Moreover, one can find none graph changing versions of this master constraint operator, which are the only type of operators appropriate for these coherent states.
Осы жалғыз шектеуді нөлге теңдету, барлық үшін және теңдесімді білдіреді. Бұл шектеу кеңістіктік диффеоморфизмді және Гамильтондық шектеуді бір уақытта кинематикалық Гильберт кеңістігінде іске асырады. Физикалық ішкі көбейтінді (физикалық ішкі көбейтінді) (а) ретінде анықталады. Бұл өрнектің спин көбік бейнелеуі параметрді дискретті қадамдарға бөлу және жазу арқылы алынады.
Setting this single constraint to zero is equivalent to and for all in This constraint implements the spatial diffeomorphism and Hamiltonian constraint at the same time on the Kinematic Hilbert space. The physical inner product is then defined as
(as ). A spin foam representation of this expression is obtained by splitting the parameter in discrete steps and writing
The spin foam description then follows from the application of on a spin network resulting in a linear combination of new spin networks whose graph and labels have been modified. Obviously an approximation is made by truncating the value of to some finite integer. An advantage of the extended master constraint is that we are working at the kinematic level and so far it is only here we have access semiclassical coherent states. Moreover, one can find none graph changing versions of this master constraint operator, which are the only type of operators appropriate for these coherent states.
Әрине, a мәнін белгілі бір шекті бүтін санға жуықтау жасау қажет. Кеңейтілген бас шектеудің артықшылығы - біз кинематикалық деңгейде жұмыс істейміз және қазірге дейін тек осы деңгейде ғана жартылай классикалық когерентті күйлерге қол жеткізе аламыз. Сонымен қатар, осы бас шектеу операторының графикті өзгертетін емес нұсқаларын табуға болады, олар осы когерентті күйлерге сәйкес келетін операторлардың жалғыз түрі болып табылады.
Setting this single constraint to zero is equivalent to and for all in This constraint implements the spatial diffeomorphism and Hamiltonian constraint at the same time on the Kinematic Hilbert space. The physical inner product is then defined as
(as ). A spin foam representation of this expression is obtained by splitting the parameter in discrete steps and writing
The spin foam description then follows from the application of on a spin network resulting in a linear combination of new spin networks whose graph and labels have been modified. Obviously an approximation is made by truncating the value of to some finite integer. An advantage of the extended master constraint is that we are working at the kinematic level and so far it is only here we have access semiclassical coherent states. Moreover, one can find none graph changing versions of this master constraint operator, which are the only type of operators appropriate for these coherent states.
Алгебралық кванттық гравитация (АКГ)
Бас шектеу бағдарламасы алгебралық кванттық гравитация (АҚГ) деп аталатын гравитацияның толық комбинаторлық қарастырылуына дамыды. Графты өзгерте бермейтін бас шектеу операторы алгебралық кванттық гравитация шеңберінде қолданылады. АҚГ LQG-дан шабыттанғанмен, одан кардиналды түрде ерекшеленеді, себебі АҚГ-да негізінен топология немесе дифференциалдық құрылым жоқ – ол көбірек жалпыланған мағынада фонға тәуелсіз және топологиялық өзгерістер туралы айта алады. АҚГ кванттық гравитациясының осы жаңа тұжырымында жартылай классикалық күйлер әрқашан барлық бос дәрежелердің тербелісін бақылайды. Бұл АҚГ жартылай классикалық талдауын LQG-ге қарағанда артық етеді, сондай-ақ оның дұрыс жартылай классикалық лимиті бар екені және таныс төмен энергиялық физикамен байланыс орнатуда үлкен жетістіктерге қол жеткізілді.
Қара тесік энтропиясы
Қара тесік термодинамикасы – термодинамика заңдарын қара тесік оқиғалар горизонтының болуымен үйлестіруге бағытталған зерттеу саласы. Жалпы салыстырмалылық теориясының «шаш жоқ» болжамы бойынша қара тесік тек массасымен, зарядымен және бұрыштық импульсімен сипатталады; демек, оның энтропиясы жоқ. Олай болса, нөлдік емес энтропиясы бар объектіні қара тесікке тастау арқылы термодинамиканың екінші заңы бұзылуы мүмкін. Стивен Хокинг пен Джейкоб Бекенштейннің жұмыстары термодинамиканың екінші заңының қара тесікке энтропия тағайындау арқылы сақталуын көрсетті, мұндағы тесіктің оқиға көкжиегінің ауданы , Болцман тұрақтысы және Планк ұзындығы болып табылады. Қара тесік энтропиясының Бекенштейн шегі арқылы (Бекенштейн шегі теңдікке айналғанда) алынатын ең жоғары энтропия екендігінің анықталуы голографиялық принципке әкелген маңызды байқау болды. «Шашсыз» теореманы қолданудағы қателік – қара тесіктің энтропиясын есептегенде, энтропияны қамтамасыз ететін бостандық дәрежелерінің классикалық табиғаты болуы керек деген болжам; егер олар толығымен кванттық-механикалық болса және нөлдік емес энтропияға ие болса не болады? Бұл LQG-дегі қара тесік энтропиясының туындысында көрінеді және оны оның фондық тәуелсіздігінің салдары ретінде қарастыруға болады – классикалық қара тесік кеңістік-уақыты гравитациялық өрістің кванттық күйінің жартылай классикалық лимитінен туындайды, бірақ бірдей жартылай классикалық лимиті бар көптеген кванттық күйлер бар. Нақтырақ айтқанда, LQG-де микрокүйлерге кванттық геометриялық интерпретация беруге болады: бұл қара тесіктің ауданымен және горизонттың топологиясымен (яғни сфералық) сәйкес келетін горизонттың кванттық геометриялары. LQG энтропияның шектілігін және горизонт ауданының пропорционалдығын геометриялық тұрғыдан түсіндіреді. Бұл есептеулер айналатын қара тесіктерге де қолданылды. Толық кванттық теорияның ковариантты формулировкасынан (Спин-желі) энергия мен аудан арасындағы дұрыс қатынасты (1-заң), Унрух температурасын және Хокинг энтропиясын тудыратын үлестіруді алуға болады. Есептеу динамикалық горизонт тұжырымын пайдаланады және экстремальді емес қара тесіктер үшін жүргізіледі. Теорияның осы бағыттағы соңғы жетістігі – барлық ерекше емес қара тесіктердің энтропиясын тікелей теориядан және Иммирци параметріне тәуелді емес есептеу. Нәтижесінде күтілетін формула пайда болады, онда энтропия және қара тесіктің ауданы Бекенштейн мен Хокинг эвристикалық негізде алған. Бұл формуланың жалпы емес қара тесіктер үшін негізгі теориядан алынған жалғыз белгілі туындысы. Бұрынғы есептеулерде қиындықтар болды. Мәселе мынада: Loop кванттық гравитациясы қара тесіктің энтропиясы оқиғалар горизонтының ауданына пропорционалды екенін болжаса да, нәтиже теориядағы маңызды бос параметрге, жоғарыда аталған Иммирци параметріне байланысты болды. Алайда, Иммирци параметрін есептеуге белгілі әдіс жоқ, сондықтан ол Бекенштейн мен Хокингтің қара тесік энтропиясын есептеуімен келісуді талап ету арқылы бекітілді.
where is the area of the hole's event horizon, is the Boltzmann constant, and is the Planck length. The fact that the black hole entropy is also the maximal entropy that can be obtained by the Bekenstein bound (wherein the Bekenstein bound becomes an equality) was the main observation that led to the holographic principle. An oversight in the application of the no hair theorem is the assumption that the relevant degrees of freedom accounting for the entropy of the black hole must be classical in nature; what if they were purely quantum mechanical instead and had non zero entropy? This is what is realized in the LQG derivation of black hole entropy, and can be seen as a consequence of its background independence – the classical black hole spacetime comes about from the semiclassical limit of the quantum state of the gravitational field, but there are many quantum states that have the same semiclassical limit. Specifically, in LQG it is possible to associate a quantum geometrical interpretation to the microstates: These are the quantum geometries of the horizon which are consistent with the area, , of the black hole and the topology of the horizon (i. e. spherical). LQG offers a geometric explanation of the finiteness of the entropy and of the proportionality of the area of the horizon. These calculations have been generalized to rotating black holes. It is possible to derive, from the covariant formulation of full quantum theory (Spinfoam) the correct relation between energy and area (1st law), the Unruh temperature and the distribution that yields Hawking entropy. The calculation makes use of the notion of dynamical horizon and is done for non extremal black holes. A recent success of the theory in this direction is the computation of the entropy of all non singular black holes directly from theory and independent of Immirzi parameter. The result is the expected formula , where is the entropy and the area of the black hole, derived by Bekenstein and Hawking on heuristic grounds. This is the only known derivation of this formula from a fundamental theory, for the case of generic non singular black holes. Older attempts at this calculation had difficulties. The problem was that although Loop quantum gravity predicted that the entropy of a black hole is proportional to the area of the event horizon, the result depended on a crucial free parameter in the theory, the above mentioned Immirzi parameter. However, there is no known computation of the Immirzi parameter, so it was fixed by demanding agreement with Bekenstein and Hawking's calculation of the black hole entropy.
Хокинг сәулесі циклдік кванттық гравитацияда
Бүкпелік кванттық гравитация қолданылып, қара тесік көкжиегінің кванттық геометриясы егжей-тегжейлі зерттелді. Бекенштейн мен Хокинг алғаш рет тапқан қара тесік энтропиясының нәтижесі циклдық кванттау арқылы қайта жаңғыртылмайды, егер туындының ішінде пайда болатын басқа тұрақтыны жою үшін Иммирци параметрінің мәні таңдалмаса. Дегенмен, бұл қара тесіктердің энтропиясы мен сәулеленуіне жоғары ретті түзетулерді есептеуге мүмкіндік берді. Көкжиегінің ауданындағы флуктуацияларға негізделген кванттық қара тесік, Хокинг спектрінен ауытқуларды көрсетеді, егер Хокинг сәулеленуінен туындаған алғашқы қара тесіктердің булануынан рентген сәулелерін байқауға мүмкіндік болса. Кванттық эффекттер Хокинг сәулелену спектрінде анық байқалатын дискретті және бірікпеген жиіліктер жиынтығында шоғырланған.
Планк жұлдызы
2014 жылы Карло Ровелли мен Франческа Видотто әрбір қара тесіктің ішінде Планк жұлдызы бар екенін ұсынды. LQG-ға негізделген теория бойынша, жұлдыздар қара тесіктерге құлағанда энергия тығыздығы Планк энергия тығыздығына жетеді, бұл жұлдызды құратын итергіш күшке әкеледі. Бұдан әрі, мұндай жұлдыздың болуы қара тесіктердің өрт қабырғасы және ақпарат парадоксы сынды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.
Лүпістік кванттық космология
Халықтық және техникалық әдебиетте ЛКГ-мен байланысты циклдік кванттық космология тақырыбына кеңінен сілтеме жасалады. LQC негізінен Мартин Божовальд жасады. Ол "Scientific American" журналында Ұлы Жарлыстан бұрын Ұлы Секіруді болжауы арқасында танымал болды. Loop quantum cosmology (LQC) – бұл классикалық жалпы салыстырмалылық теориясының симметриялық түрде қысқартылған моделі, ол қысқарған және кеңейген космологиялық тармақтар арасындағы «кванттық көпірді» болжайды және loop quantum gravity (LQG) әдістерін еліктейтін әдістерді қолданып квантталған. LQC-нің жетістіктері – Ұлы Жарлыс сингулярлығын шешу, Ұлы Секіруді болжау және инфляцияның табиғи механизмін табу болды. LQC модельдері LQG-нің ерекшеліктерін бөліседі, сондықтан олар пайдалы модель болып табылады. Дегенмен, алынған нәтижелер әдеттегі шектеуге жатады, яғни қысқартылған классикалық теория, содан кейін квантталған, толық теориядағы үлкен кванттық ауытқуларға байланысты еркіндік дәрежесін жасанды түрде басу салдарынан толық теорияның нақты мінез-құлқын көрсетпеуі мүмкін. LQC-дегі сингулярлықтан қашу тек осы шектеулі модельдерде қол жетімді механизмдер арқылы жүзеге асырылады және толық теорияда сингулярлықтан қашу әлі де мүмкін, бірақ LQG-нің одан да нәзік ерекшелігі арқылы қол жеткізіледі деп айтылады.
Күлгілік кванттық ауырлық феноменологиясы
Кванттық гравитация әсерлерін өлшеу қиын, себебі Планк ұзындығы өте кішкентай. Дегенмен, соңғы кезде Джек Палмер сияқты физиктер астрофизикалық байқаулар және гравитациялық толқын детекторлары арқылы кванттық гравитация әсерлерін өлшеу мүмкіндігін қарастыра бастады. Осы деңгейдегі құбылыстардың энергиясы кеңістіктегі тербелістерді тудырады, олар үлкен масштабтарда байқалады.
Қорға тәуелсіз шашырау амплитудасы
Кванттық гравитацияның циклдік теориясы фонға тәуелсіз тілмен құрастырылған. Кез келген кеңістік-уақыт априори қабылдамайды, керісінше, ол теорияның өзінің күйлері арқылы салынады. Дегенмен, шашырау амплитудалары нүктелік функциялардан (корреляциялық функция) туындайды, және олар дәстүрлі кванттық өріс теориясында кеңістік-уақыт фонындағы нүктелердің функциялары болып табылады. Фонға тәуелсіз формализм мен белгілі бір кеңістіктегі дәстүрлі кванттық өріс теориясы арасындағы байланыс айқын емес, сондай-ақ толық фонға тәуелсіз теориядан төмен энергия шамаларын қалай алуға болады деген де сұрақ туады. Теорияның нүктелік функцияларын фонға тәуелсіз формализмнен шығарып, оларды кванттық жалпы салыстырмалылықтың стандартты бұзылу теориясымен салыстырып, циклдік кванттық гравитацияның дұрыс төмен энергия шектерін беретінін тексеру қажет. Бұл мәселені шешу үшін стратегия ұсынылды: шекара амплитудасын зерттеу, яғни өрістің шекаралық шарттарының функциясы ретінде қарастырылатын, шекті кеңістік-уақыт аймағындағы жол интегралын қарастыру. Дәстүрлі кванттық өріс теориясында бұл шекара амплитудасы анықталған және теорияның физикалық ақпаратын кодтайды; ол кванттық гравитацияда да осылай, бірақ толығымен фонға тәуелсіз түрде. Нүктелік функциялардың жалпы ковариантты анықтамасы физикалық нүктелер арасындағы қашықтықтың – нүктелік функцияның аргументтерінің, қарастырылып отырған кеңістік-уақыт аймағының шекарасындағы гравитациялық өрістің күйімен анықталады деген идеяға негізделуі мүмкін. Спин көбіктерін қолдану арқылы осылайша фонға тәуелсіз шашырау амплитудаларын есептеуде үлкен қадамдар жасалды. Бұл теориядан физикалық ақпаратты алудың бір жолы. Гравитон шашырау амплитудасының дұрыс мінез-құлқын қайта жаңғыртуға және классикалық гравитацияны қалпына келтіруге қол жеткізілгені туралы мәлімдемелер жасалды. "Біз Ньютон заңын кеңістік пен уақыт жоқ әлемнен бастап есептедік" – Карло Ровелли.
Гравитондар, сап теориясы, суперсимметрия, LQG-дегі қосымша өлшемдер
Кейбір гравитацияның кванттық теориялары гравитонның пайда болуына себепші болып, квантталған спин 2 кванттық өрісін болжайды. Сым теориясында әдетте классикалық тұрақты фонның үстінде кванттық қоздырудан басталады. Осылайша бұл теорияны фонға тәуелді деп атайды. Фотон сияқты бөлшектер, сондай-ақ кеңістік-уақыт геометриясындағы өзгерістер (гравитон) екеуі де сымдық әлем парағындағы қоздырғыштар ретінде сипатталады. Сым теориясының негізге тәуелділігі физикалық салдарлары болуы мүмкін, мысалы, кварк ұрпақтарының санын анықтау. Керісінше, жалпы салыстырмалылық теориясы сияқты циклдік кванттық гравитация, негізінен, фонға тәуелсіз, бұл сым теориясында қажетті фонды жояды. Циклдік кванттық гравитация, сым теориясы сияқты, кванттық өріс теориясының қайта нормалана алмайтын ауытқуларын жеңуге бағытталған. LQG фонды және осындай фонда өмір сүретін қоздырғыштарды енгізбейді, сондықтан LQG гравитондарды құрылыс блоктары ретінде қолданбайды. Оның орнына, жартылай классикалық шекті немесе әлсіз өріс шегін қалпына келтіруге болады деп күтеді, онда "гравитон" сияқты нәрсе қайтадан пайда болады. Керісінше, гравитондар сым теориясында басты рөл атқарады, онда олар суперсымның алғашқы (массасыз) қоздыру деңгейінің қатарында болады. LQG сым теориясынан ерекшеленеді, өйткені ол 3 және 4 өлшемде және суперсимметриясыз немесе Калуза-Клейн қосымша өлшемдерісіз жасалады, ал соңғысы екеуінің де шын болуын талап етеді. Бүгінгі күнге дейін суперсимметрия мен Калуза-Клейн қосымша өлшемдері туралы сым теориясының болжамын растайтын эксперименталды дәлелдер жоқ. 2003 жылы "Кванттық гравитация туралы диалог" атты мақаласында Карло Ровелли LQG 4 өлшемде және суперсимметриясыз теорияның күшті бөлігі ретінде қалыптастырылғандығын қарастырады, өйткені ол қазіргі тәжірибелік нәтижелерге сәйкес, оның бәсекелесі сым/М теориясына қарағанда ең үнемді түсіндірмесін білдіреді. Сым теориясының жақтаушылары, басқа нәрселермен қатар, ол жалпы салыстырмалылық теориясы мен кванттық өріс теориясының қалыптасқан теорияларын тиісті шектерде дәлелдеп қайталайды, ал циклдік кванттық гравитация онымен күрескен. Осы мағынада, математикалық деңгейде, сым теориясының қалыптасқан физикамен байланысы сенімдірек және аз болжамды болып саналуы мүмкін. Циклдік кванттық гравитацияның әлемдегі материяға (фермиондарға) қатысты айтары жоқ. LQG 4 өлшемде (суперсимметриямен және онсыз) тұжырымдалғандықтан және М теориясы суперсимметрия мен 11 өлшемді талап ететіндіктен, екеуін тікелей салыстыру мүмкін емес. LQG формализмін жоғары өлшемді супергравитацияға, суперсимметриялы жалпы салыстырмалылық теориясына және Калуза-Клейн қосымша өлшемдеріне дейін, егер эксперименталды дәлелдер олардың бар екендігін дәлелдесе, кеңейту мүмкін. Сондықтан бұл тәсілдерді салыстыру үшін жоғары өлшемді супергравитациялық циклдік кванттаулар болуы қажет. Осыған қатысты бірнеше мақалалар жарық көрді. Соңғы уақытта Тиман (және оның түлектері) жоғары өлшемдегі супергравитация үшін қара тесіктің энтропиясын есептеуде жетістіктерге жетті. Бұл нәтижелерді сәйкес суперсымдық есептеулермен салыстыру пайдалы болады.
LQG және оған байланысты ғылыми-зерттеу бағдарламалары
Бірнеше зерттеу тобы LQG-ді басқа зерттеу бағдарламаларымен біріктіруге тырысты: Йоханнес Аструп, Джеспер М. Гримструп және т.б. зерттеулері коммутативті емес геометрияны канондық кванттық гравитациямен және Аштекар айнымалыларымен, Лоран Фрейдель, Симона Специале және т.б. спиннерлер мен твистор теориясын циклдық кванттық гравитациямен, ал Ли Смолин және т.б. Verlinde энтропиялық гравитациясымен және циклдық гравитациямен үйлестіреді. Стефон Александр, Антонино Марчиано және Ли Смолин әлсіз күш хиралдығының шығу тегін Аштекар айнымалылары арқылы түсіндіруге тырысты, бұл айнымалылар гравитацияны хиралды деп сипаттайды, сондай-ақ LQG-ді төрт өлшемдегі Янг-Миллс теориясымен біріктіруге ұмтылысты. Санденс Билсон Томпсон, Хакетт және т.б. стандартты модельді LQG-нің еркіндік дәрежелері арқылы туындаған қасиет ретінде енгізуге тырысты (шусыз субжүйелер идеясын қолдана отырып, бұл ұғым Fotini Markopoulou Kalamara және т.б. шектелген жүйелер үшін жалпы жағдайда енгізген). Сонымен қатар, LQG философиялық тұрғыдан себептік динамикалық үшбұрыштылықпен және асимптотикалық қауіпсіз гравитациямен, ал спин-көбік топтық өріс теориясымен және AdS/CFT сәйкестігімен салыстырылды. Смолин мен Вэн LQG-ді сымдық тор сұйықтығымен, тензорлармен және Смолин мен Фотини Маркпоулу Каламара кванттық графигімен біріктіруді ұсынды. Үйлесімді дискреттеу тәсілі де бар. Сонымен қатар, Пуллин мен Гамбини кванттық гравитацияға жол интегралы және канондық тәсілдерді байланыстыратын құрылым ұсынады. Олар спин-көбік пен канондық циклдық бейнелеу тәсілдерін келістіруге көмектесе алады. Крис Дастон мен Матильда Марколидің соңғы зерттеулері топспин желілері арқылы топологиялық өзгерістерді енгізуге мүмкіндік береді.