Кіріспе
Матрицалардың кіші класы Математикада, егер матрицаның әрбір жолы үшін диагональді жазудың шамасы сол жолдағы барлық басқа (диагональдан тыс) жазулардың шамаларының қосындысынан үлкен немесе оған тең болса, квадраттық матрица диагональді басым деп аталады. Нақтырақ айтқанда, матрица диагональдық басым болса, егер ол th жол мен th бағандағы жазуды білдірсе. Бұл анықтама әлсіз теңсіздікті қолданады, сондықтан кейде әлсіз диагональдық үстемдік деп аталады. Егер қатаң теңсіздік (>) қолданылса, бұл қатаң диагональдық үстемдік деп аталады. Диагональдық үстемдік деген термин контекске байланысты қатаң және әлсіз диагональдық үстемдікті білдіруі мүмкін.
In mathematics, a square matrix is said to be diagonally dominant if, for every row of the matrix, the magnitude of the diagonal entry in a row is greater than or equal to the sum of the magnitudes of all the other (off diagonal) entries in that row. More precisely, the matrix is diagonally dominant if
where denotes the entry in the th row and th column. This definition uses a weak inequality, and is therefore sometimes called weak diagonal dominance. If a strict inequality (>) is used, this is called strict diagonal dominance. The unqualified term diagonal dominance can mean both strict and weak diagonal dominance, depending on the context.
Вариациялар
Бірінші абзацтағы анықтама әр жолдағы жазбаларды қосты. Сондықтан оны кейде қатар диагональдық үстемдік деп атайды. Егер анықтаманы өзгертіп, әрбір бағанды жинап алсақ, бұл бағанның диагональдық үстемдігі деп аталады. Кез келген қатаң диагональдық доминантты матрица - бұл әлсіз тізбектелген диагональдық доминантты матрица. Әлсіз тізбектелген диагональді доминантты матрицалар сингуляр емес және олар диагональді доминантты матрицалардың отбасына кіреді. Бұл диагональдық жағынан әлсіз басым, бірақ кем дегенде бір қатарда диагональдық жағынан қатаң басым болатын қайталанбайтын матрицалар.
Қолданылулары мен қасиеттері
Келесі нәтижелер Гершгориннің шеңбер теоремасынан қарапайым түрде дәлелденуі мүмкін. Гершгориннің шеңбер теоремасының өзі өте қысқа дәлелденген. Қатаң диагональдық доминантты матрица (немесе редуктивті емес диагональдық доминантты матрица) - сингуляр емес. Нақты теріс емес диагональды еншілері бар Гермиттік диагональдық доминантты матрица оң жартылай анықталады. Бұл өздік мәндердің нақты болуынан және Гершгорин шеңбер теоремасынан туындайды. Егер симметрия талабы жойылса, мұндай матрица міндетті түрде оң жартылай нақты емес. Мысалы, қараңыз Алайда, оның өзіндік мәндерінің нақты бөліктері Гершгориннің шеңбер теоремасы бойынша теріс емес болып қалады. Сол сияқты, нақты оң диагональды жазулары бар гермиттік қатаң диагональды доминантты матрица оң анық болып табылады. Гаусс жоюын (LU факторлауын) орындаған кезде қатаң бағаналық диагональді басым матрица үшін (ішінара) айналдыру қажет емес. Жакоби мен ГаусСейдель әдістері сызықтық жүйені шешу үшін, егер матрица қатаң (немесе қайталанбайтын) диагональді басым болса, конвергенция. Шекті элементтік әдістерде пайда болатын көптеген матрицалар диагональдық басымдыққа ие. Диагональдық үстемдік идеясының аздап өзгерісі Темперли-Либ алгебрасындағы циклсіз диаграммалардағы жұптасудың дегенеративті емес екенін дәлелдеу үшін қолданылады. Полиномиялық жазулары бар матрица үшін диагональдық үстемдіктің бір ақылға қонымды анықтамасы - егер әрбір жолда пайда болудың ең жоғары күші тек диагональда пайда болса. (Жоғарыда көрсетілген матрицаның үлкен мәндеріндегі бағалаулары диагональды түрде басым.)
However, the real parts of its eigenvalues remain non negative by Gershgorin's circle theorem. Similarly, a Hermitian strictly diagonally dominant matrix with real positive diagonal entries is positive definite. No (partial) pivoting is necessary for a strictly column diagonally dominant matrix when performing Gaussian elimination (LU factorization). The Jacobi and Gauss–Seidel methods for solving a linear system converge if the matrix is strictly (or irreducibly) diagonally dominant. Many matrices that arise in finite element methods are diagonally dominant. A slight variation on the idea of diagonal dominance is used to prove that the pairing on diagrams without loops in the Temperley–Lieb algebra is non degenerate. For a matrix with polynomial entries, one sensible definition of diagonal dominance is if the highest power of appearing in each row appears only on the diagonal. (The evaluations of such a matrix at large values of are diagonally dominant in the above sense.)