Введение
Подкласс матриц В математике квадратная матрица считается диагонально доминирующей, если для каждого ряда матрицы величина диагональной записи в ряду больше или равна сумме величин всех других (не диагональных) записей в этом ряду. Точнее, матрица является диагонально доминирующей, если где обозначает вход в й строку и й колонку. Это определение использует слабое неравенство, и поэтому иногда называется слабым диагональным доминированием. Если используется строгое неравенство (>), это называется строгое диагональное доминирование. Неопределенный термин диагональное доминирование может означать как строгое, так и слабое диагональное доминирование, в зависимости от контекста.
In mathematics, a square matrix is said to be diagonally dominant if, for every row of the matrix, the magnitude of the diagonal entry in a row is greater than or equal to the sum of the magnitudes of all the other (off diagonal) entries in that row. More precisely, the matrix is diagonally dominant if
where denotes the entry in the th row and th column. This definition uses a weak inequality, and is therefore sometimes called weak diagonal dominance. If a strict inequality (>) is used, this is called strict diagonal dominance. The unqualified term diagonal dominance can mean both strict and weak diagonal dominance, depending on the context.
Вариации
Определение в первом абзаце суммирует записи по каждой строке. Поэтому иногда его называют диагональным доминированием ряда. Если изменить определение, чтобы суммировать каждый столбец, это называется диагональным доминированием столбца. Любая строго диагонально доминирующая матрица является тривиально слабо связанной диагонально доминирующей матрицей. Слабо связанные диагонально доминирующие матрицы не являются сингулярными и включают в себя семейство необратимо диагонально доминирующих матриц. Это необратимые матрицы, которые слабо доминируют по диагонали, но строго доминируют по диагонали по крайней мере в одном ряду.
Применение и свойства
Следующие результаты могут быть доказаны тривиально из теоремы круга Гершгорина. У теоремы круга Гершгорина есть очень короткое доказательство. Строго диагонально доминирующая матрица (или необратимо диагонально доминирующая матрица) не является сингулярной. Гермитовская диагонально доминирующая матрица с реальными неотрицательными диагональными входами является положительной полуопределенной. Это следует из собственных значений, являющихся реальными, и теоремы круга Гершгорина. Если требование симметрии устраняется, такая матрица не обязательно является положительной полуопределенной. Например, рассмотрим, однако, реальные части его собственных значений остаются неотрицательными по теореме круга Гершгорина. Аналогичным образом, гермитово-диагонально доминирующая матрица с реальными положительными диагональными входами является положительно определенной. Для строго колонной диагонально доминирующей матрицы при выполнении гауссовского устранения (факторизации ЛУ) не требуется (частичного) поворота. Методы Якоби и Гаусса-Сейделя для решения линейной системы сходятся, если матрица строго (или необратимо) диагонально доминирует. Многие матрицы, возникающие в методах с конечными элементами, являются диагонально доминирующими. Небольшое изменение идеи диагонального доминирования используется для доказательства того, что сочетание на диаграммах без петлей в алгебре Темперли-Либа не является дегенеративным. Для матрицы с многочленными элементами, одно разумное определение диагонального доминирования - если наибольшая сила появления в каждом ряду появляется только на диагонали. (Оценки такой матрицы при больших значениях являются диагонально доминирующими в вышеуказанном смысле.)
However, the real parts of its eigenvalues remain non negative by Gershgorin's circle theorem. Similarly, a Hermitian strictly diagonally dominant matrix with real positive diagonal entries is positive definite. No (partial) pivoting is necessary for a strictly column diagonally dominant matrix when performing Gaussian elimination (LU factorization). The Jacobi and Gauss–Seidel methods for solving a linear system converge if the matrix is strictly (or irreducibly) diagonally dominant. Many matrices that arise in finite element methods are diagonally dominant. A slight variation on the idea of diagonal dominance is used to prove that the pairing on diagrams without loops in the Temperley–Lieb algebra is non degenerate. For a matrix with polynomial entries, one sensible definition of diagonal dominance is if the highest power of appearing in each row appears only on the diagonal. (The evaluations of such a matrix at large values of are diagonally dominant in the above sense.)