Кіріспе
Риманн метрикасы, күрделі көптүрлілік Дифференциалдық геометрияның математикалық саласында Калаби болжамы - белгілі бір күрделі көптүрліліктердегі Риманн метрикасының белгілі бір түрлері бар екендігі туралы болжамы. Оны дәлелдеген - Р. Ф. Оның жұмысы, негізінен, күрделі Монже-Ампер теңдеуі деп аталатын эллиптік бөлшектік дифференциалдық теңдеуді талдау геометриялық талдау саласында ықпалды ерте нәтиже болды. Нақтырақ айтқанда, Калаби болжамы жабық күрделі көптүрліліктегі Кэхлер метрикасының параметрлері шеңберінде Риччи қисықтығы мәселесінің шешілуін растайды. Черн-Вейль теориясына сәйкес, кез келген осындай метриканың Риччи формасы бірінші Черн класын білдіретін жабық дифференциалдық 2 формасы болып табылады. Калаби кез келген осындай R дифференциалдық формасы үшін әр Kähler класында дәл бір Kähler метрикасы бар екенін болжады, оның Ricci формасы R. (Бірнеше компактті күрделі көптүрлілік Kähler кластарын қабылдамайды, бұл жағдайда болжам бос). Бірінші Черн класы жоғалған ерекше жағдайда бұл әр Кэхлер класы дәл бір Риччидің жазық метрикасын қамтиды дегенді білдіреді. Бұларды көбінесе КалабиЯу көптіктері деп атайды. Алайда, терминді әртүрлі авторлар жиі әртүрлі тәсілдермен қолданады. Мысалы, кейбір пайдаланулар күрделі көпқабатты білдіруі мүмкін, ал басқалары белгілі бір Риччидің жалпақ Кэхлер метрикасымен бірге күрделі көпқабатты білдіруі мүмкін. Бұл ерекше жағдайды дәл осылай тұтас күрделі көптүрліліктегі нөлдік скалярлық қисықтықтың Кэхлер-Эйнштейн метрикасының толық болуы мен бірегейлігі теориясы ретінде қарастыруға болады. Қалаби болжамының ерекше жағдайы ретінде нөлден тыс скалярлық қисықтық жағдайы қолданылмайды, өйткені Кэхлер Эйнштейн проблемасының "оң жағы" "белгісіз" метрикаға байланысты, осылайша Кэхлер Эйнштейн проблемасын Риччи қисықтығын белгілеу аумағынан тыс орналастырады. Алайда, Яудың Калаби болжамын шешудегі күрделі Монже-Ампер теңдеуін талдау теріс скалярлық қисықтық Кахлер-Айнштейн метрикасының барлығын да шешу үшін жеткілікті жалпы болды. Үшінші және соңғы оң скалярлық қисықтық жағдайы 2010 жылдары, ішінара, Калаби болжамын пайдалану арқылы шешілді.
In the mathematical field of differential geometry, the Calabi conjecture was a conjecture about the existence of certain kinds of Riemannian metrics on certain complex manifolds, made by It was proved by , who received the Fields Medal and Oswald Veblen Prize in part for his proof. His work, principally an analysis of an elliptic partial differential equation known as the complex Monge–Ampère equation, was an influential early result in the field of geometric analysis. More precisely, Calabi's conjecture asserts the resolution of the prescribed Ricci curvature problem within the setting of Kähler metrics on closed complex manifolds. According to Chern–Weil theory, the Ricci form of any such metric is a closed differential 2 form which represents the first Chern class. Calabi conjectured that for any such differential form R, there is exactly one Kähler metric in each Kähler class whose Ricci form is R. (Some compact complex manifolds admit no Kähler classes, in which case the conjecture is vacuous.) In the special case that the first Chern class vanishes, this implies that each Kähler class contains exactly one Ricci flat metric. These are often called Calabi–Yau manifolds. However, the term is often used in slightly different ways by various authors — for example, some uses may refer to the complex manifold while others might refer to a complex manifold together with a particular Ricci flat Kähler metric. This special case can equivalently be regarded as the complete existence and uniqueness theory for Kähler–Einstein metrics of zero scalar curvature on compact complex manifolds. The case of nonzero scalar curvature does not follow as a special case of Calabi's conjecture, since the 'right hand side' of the Kähler–Einstein problem depends on the 'unknown' metric, thereby placing the Kähler–Einstein problem outside the domain of prescribing Ricci curvature. However, Yau's analysis of the complex Monge–Ampère equation in resolving the Calabi conjecture was sufficiently general so as to also resolve the existence of Kähler–Einstein metrics of negative scalar curvature. The third and final case of positive scalar curvature was resolved in the 2010s, in part by making use of the Calabi conjecture.
Калаби болжамының дәлелінің сызбасы
Калаби Калаби болжамын күрделі Монже-Ампер типті сызықтық емес бөлшектік дифференциалдық теңдеуге айналдырды және бұл теңдеудің ең көп дегенде бір шешімі бар екенін көрсетті, осылайша қажетті Кэхлер метрикасының бірегейлігін анықтады. Яу Калабидің болжамын үздіксіздік әдісін қолдана отырып, осы теңдеудің шешімін құрастыру арқылы дәлелдеді. Бұл алдымен оңай теңдеуді шешуді, содан кейін оңай теңдеудің шешімі қиын теңдеудің шешімі ретінде үздіксіз деформациялануы мүмкін екенін көрсетуді қамтиды. Яудың шешімінің ең қиын бөлігі шешімдердің туындылары үшін белгілі бір априорлық бағалауларды дәлелдеу.
F жиыны ашық
Мүмкін F жиынының ашық екенін дәлелдеу (орташа мәні 1 бар тегіс функциялар жиынында) егер кейбір F үшін теңдеуді шешу мүмкін болса, онда оны барлық жеткілікті жақын F үшін шешу мүмкін екенін көрсетуді қамтиды. Калаби мұны Банах кеңістіктері үшін имплицитті функция теоремасын қолдану арқылы дәлелдеді: мұны қолдану үшін негізгі қадам - жоғарыдағы дифференциалдық оператордың сызықтықтандырылуының кері айналатындығын көрсету.