Введение
Римановская метрика, комплексные многообразия В математической области дифференциальной геометрии гипотеза Калаби была гипотезой о существовании определенных видов римановских метрик на определенных сложных многообразиях, сделанной в 1858 году. Она была доказана в 1859 году, получившим медаль Филдса и премию Освальда Веблена частично за его доказательство. Его работа, в основном анализ эллиптического уравнения частичных дифференциалов, известного как сложное уравнение Монже-Ампера, была влиятельным ранним результатом в области геометрического анализа. Более точно, гипотеза Калаби утверждает решение задачи кривоты Риччи в пределах установки метрик Кэхлера на закрытых сложных многообразиях. Согласно теории Черна-Вейла, форма Риччи любой такой метрики является закрытой дифференциальной формой 2, которая представляет первый класс Черна. Калаби предположил, что для любой такой дифференциальной формы R в каждом классе Kähler есть ровно одна метрика Kähler, форма Риччи которой R. (Некоторые компактные сложные многообразия не допускают классов Kähler, в этом случае предположение является пустым). В особом случае, когда первый класс Черна исчезает, это означает, что каждый класс Кэхлера содержит ровно одну плоскую метрику Риччи. Их часто называют разнообразиями CalabiYau. Однако термин часто используется несколько по-разному различными авторами. Например, некоторые применения могут относиться к сложному многообразию, в то время как другие могут относиться к сложному многообразию вместе с определенной метрикой Риччи-плоского Кэхлера. Этот особый случай может рассматриваться как полная теория существования и уникальности для метрик Кэхлера-Эйнштейна нулевой скалярной кривизны на компактных сложных многообразиях. Случай ненулевой скалярной кривизны не следует в качестве специального случая гипотезы Калаби, поскольку "правая сторона" проблемы КэхлераЭйнштейна зависит от "неизвестной" метрики, тем самым помещая проблему КэхлераЭйнштейна за пределы области предписания кривизны Риччи. Однако анализ Яу сложного уравнения Монже-Ампера при решении гипотезы Калаби был достаточно общим, чтобы также решить существование метрик Кэхлера-Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны. Третий и последний случай положительной скалярной кривизны был решен в 2010-х годах, частично с использованием гипотезы Калаби.
In the mathematical field of differential geometry, the Calabi conjecture was a conjecture about the existence of certain kinds of Riemannian metrics on certain complex manifolds, made by It was proved by , who received the Fields Medal and Oswald Veblen Prize in part for his proof. His work, principally an analysis of an elliptic partial differential equation known as the complex Monge–Ampère equation, was an influential early result in the field of geometric analysis. More precisely, Calabi's conjecture asserts the resolution of the prescribed Ricci curvature problem within the setting of Kähler metrics on closed complex manifolds. According to Chern–Weil theory, the Ricci form of any such metric is a closed differential 2 form which represents the first Chern class. Calabi conjectured that for any such differential form R, there is exactly one Kähler metric in each Kähler class whose Ricci form is R. (Some compact complex manifolds admit no Kähler classes, in which case the conjecture is vacuous.) In the special case that the first Chern class vanishes, this implies that each Kähler class contains exactly one Ricci flat metric. These are often called Calabi–Yau manifolds. However, the term is often used in slightly different ways by various authors — for example, some uses may refer to the complex manifold while others might refer to a complex manifold together with a particular Ricci flat Kähler metric. This special case can equivalently be regarded as the complete existence and uniqueness theory for Kähler–Einstein metrics of zero scalar curvature on compact complex manifolds. The case of nonzero scalar curvature does not follow as a special case of Calabi's conjecture, since the 'right hand side' of the Kähler–Einstein problem depends on the 'unknown' metric, thereby placing the Kähler–Einstein problem outside the domain of prescribing Ricci curvature. However, Yau's analysis of the complex Monge–Ampère equation in resolving the Calabi conjecture was sufficiently general so as to also resolve the existence of Kähler–Einstein metrics of negative scalar curvature. The third and final case of positive scalar curvature was resolved in the 2010s, in part by making use of the Calabi conjecture.
Конспект доказательства гипотезы Калаби
Калаби преобразовал гипотезу Калаби в нелинейное частичное дифференциальное уравнение сложного типа Монже-Ампера и показал, что это уравнение имеет, как максимум, одно решение, тем самым устанавливая уникальность требуемой метрики Кэхлера. Яу доказал гипотезу Калаби, построив решение этого уравнения с использованием метода непрерывности. Это включает в себя сначала решение более простого уравнения, а затем показать, что решение легкого уравнения может быть непрерывно деформировано в решение сложного уравнения. Самая сложная часть решения Яу - доказательство некоторых априорных оценок производных решений.
Набор F открыт
Доказательство того, что множество возможных F открыто (в множестве гладких функций со средним значением 1) предполагает показание того, что если возможно решить уравнение для некоторых F, то можно решить его для всех достаточно близких F. Калаби доказал это, используя теорему о имплицитной функции для пространств Банаха: для того, чтобы применить это, главный шаг - показать, что линеаризация дифференциального оператора выше является обратимой.