Кіріспе
Диагональдастырылмайтын матрица; өз векторларының негізі жоқ. Сызықтық алгебрада ақаулы матрица - толық өз векторларының негізі жоқ, сондықтан диагональдастырылмайтын квадраттық матрица. Атап айтқанда, матрица егер және тек егер оның сызықтық тәуелсіз өз векторлары болмаса, ол ақаулы болып табылады. Толық негіз өзіндік векторларды жалпыланған өзіндік векторлармен көбейту арқылы қалыптасады, олар қарапайым дифференциалдық теңдеулердің ақаулы жүйелерін және басқа да мәселелерді шешу үшін қажет. Ақаулы матрицада әрқашанда ерекше өзіндік мәндерден аз болады, өйткені ерекше өзіндік мәндерде әрқашанда сызықтық тәуелсіз өзіндік векторлар болады. Атап айтқанда, ақаулы матрицада алгебралық көптікпен бір немесе бірнеше өзіндік мәндер бар (яғни олар сипаттамалық полиномның бірнеше түбірі), бірақ сызықтық тәуелсіз өзіндік векторлардан аз, егер алгебралық көптік оның геометриялық көптігінен асып кетсе (яғни, сызықтық тәуелсіз өзіндік векторлардың санымен байланысты), онда ол ақаулы өзіндік мән деп аталады. Алайда, алгебралық көптікпен әрбір өзіндік мәннің әрқашанда сызықтық тәуелсіз жалпыланған өзіндік векторлары болады. Нақты симметриялық матрица және көбірек жалпы Гермиттік матрица және унитарлық матрица ешқашан ақаулы емес; көбірек жалпы, қалыпты матрица (бұл арнайы жағдайларда Гермиттік және унитарлық матрицаларды қамтиды) ешқашан ақаулы емес.
In linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable. In particular, an matrix is defective if and only if it does not have linearly independent eigenvectors. A complete basis is formed by augmenting the eigenvectors with generalized eigenvectors, which are necessary for solving defective systems of ordinary differential equations and other problems. An defective matrix always has fewer than distinct eigenvalues, since distinct eigenvalues always have linearly independent eigenvectors. In particular, a defective matrix has one or more eigenvalues with algebraic multiplicity (that is, they are multiple roots of the characteristic polynomial), but fewer than linearly independent eigenvectors associated with If the algebraic multiplicity of exceeds its geometric multiplicity (that is, the number of linearly independent eigenvectors associated with ), then is said to be a defective eigenvalue. However, every eigenvalue with algebraic multiplicity always has linearly independent generalized eigenvectors. A real symmetric matrix and more generally a Hermitian matrix, and a unitary matrix, is never defective; more generally, a normal matrix (which includes Hermitian and unitary matrices as special cases) is never defective.
Иордания блогы
Кез келген үлкен немесе үлкен (яғни, толық диагональды емес) Джордан блогы ақаулы. (Диагональды матрица - бұл Джорданның барлық тривиальды Джордан блоктарымен бірге қалыпты формасының ерекше жағдайы және ол ақаулы емес.) Мысалы, Джордан блогының өзіндік мәні бар, алгебралық көптік (немесе басқа Джордан блоктары бар болса, одан көп) бар, бірақ бір ғана ерекше өзіндік вектор бар, мұнда басқа каноникалық негіз векторлары жалпыланған өзіндік векторлардың тізбегін құрайды, сондықтан кез келген ақаулы матрица үшін тривиалды емес Джорданның қалыпты түрі бар, ол осындай матрицаның диагональдеуіне мүмкіндігінше жақын.
has an eigenvalue, with algebraic multiplicity (or greater if there are other Jordan blocks with the same eigenvalue), but only one distinct eigenvector , where The other canonical basis vectors form a chain of generalized eigenvectors such that for
Any defective matrix has a nontrivial Jordan normal form, which is as close as one can come to diagonalization of such a matrix.