Введение
Недиагонализационная матрица; отсутствие основы собственных векторов В линейной алгебре дефектная матрица - это квадратная матрица, которая не имеет полной основы собственных векторов и поэтому не диагонализуема. В частности, матрица является дефектной, если и только если она не имеет линейно независимых собственных векторов. Полная основа формируется путем увеличения собственных векторов обобщенными собственными векторами, которые необходимы для решения дефектных систем обычных дифференциальных уравнений и других задач. Дефектная матрица всегда имеет меньше, чем различные собственные значения, поскольку различные собственные значения всегда имеют линейно независимые собственные векторы. В частности, дефектная матрица имеет одно или более собственных значений с алгебраической множественностью (то есть они являются множественными корнями характерного многочлена), но меньше, чем линейно независимые собственные векторы, связанные с . Если алгебраическая множественность превышает ее геометрическую множественность (то есть количество линейно независимых собственных векторов, связанных с), то это называется дефектным собственным значением. Однако, каждое собственное значение с алгебраической множественностью всегда имеет линейно независимые обобщенные собственные векторы. Реальная симметричная матрица и более общее гермитово-унитарная матрица никогда не являются дефектными; более общее, нормальная матрица (которая включает в себя гермитово-унитарные матрицы в качестве специальных случаев) никогда не является дефектной.
In linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable. In particular, an matrix is defective if and only if it does not have linearly independent eigenvectors. A complete basis is formed by augmenting the eigenvectors with generalized eigenvectors, which are necessary for solving defective systems of ordinary differential equations and other problems. An defective matrix always has fewer than distinct eigenvalues, since distinct eigenvalues always have linearly independent eigenvectors. In particular, a defective matrix has one or more eigenvalues with algebraic multiplicity (that is, they are multiple roots of the characteristic polynomial), but fewer than linearly independent eigenvectors associated with If the algebraic multiplicity of exceeds its geometric multiplicity (that is, the number of linearly independent eigenvectors associated with ), then is said to be a defective eigenvalue. However, every eigenvalue with algebraic multiplicity always has linearly independent generalized eigenvectors. A real symmetric matrix and more generally a Hermitian matrix, and a unitary matrix, is never defective; more generally, a normal matrix (which includes Hermitian and unitary matrices as special cases) is never defective.
Иорданский блок
Любой нетривиальный блок Джордана размером или больше (то есть не полностью диагональный) является дефектным. (Диагональная матрица является специальным случаем нормальной формы Джордана со всеми тривиальными блоками Джордана и не является дефектной.) Например, блок Джордана имеет собственное значение, с алгебраической множественностью (или больше, если есть другие блоки Джордана с тем же собственным значением), но только один отличный собственный вектор , где другие канонические векторы основы образуют цепочку обобщенных собственных векторов, такие, что для любой дефектной матрицы имеет нетривиальную нормальную форму Джордана, которая максимально приближена к диагонализации такой матрицы.
has an eigenvalue, with algebraic multiplicity (or greater if there are other Jordan blocks with the same eigenvalue), but only one distinct eigenvector , where The other canonical basis vectors form a chain of generalized eigenvectors such that for
Any defective matrix has a nontrivial Jordan normal form, which is as close as one can come to diagonalization of such a matrix.