Кіріспе
Екі жартылай реттелген жиынтықтар арасындағы ерекше сәйкестік Математикада, әсіресе тәртіп теориясында, Галуа байланысы – екі жартылай реттелген жиынтықтың (посеттер) арасындағы нақты сәйкестік. Галуа байланыстары түрлі математикалық теорияларда қолданылады. Олар француз математигі Эварист Галуа ашқан, субтоптар мен субөрістер арасындағы сәйкестік туралы Галуа теориясының негізгі теоремасын жалпылайды. Галуа байланысы алдын ала реттелген жиынтықтар немесе класс үшін де анықталуы мүмкін; осы мақалада посеттердің әдеттегі жағдайы қарастырылады. Әдебиетте "Галуа байланысы" деген екі тығыз байланысты ұғым бар. Осы мақалада біз оларды (монотонды) Галуа байланыстары және антитонды Галуа байланыстары деп атаймыз. Галуа байланысы, қатысты посеттер арасындағы реттік изоморфизмге қарағанда әлсіз, бірақ әрбір Галуа байланысы белгілі бір подпосеттердің изоморфизмін тудырады, бұл төменде түсіндіріледі. Галуа сәйкестігі термині кейде биективті Галуа байланысын білдіру үшін қолданылады; бұл жай ғана реттік изоморфизм (немесе монотонды немесе антитонды Галуа байланыстарын қарастырған жағдайға байланысты, кері реттік изоморфизм).
In mathematics, especially in order theory, a Galois connection is a particular correspondence (typically) between two partially ordered sets (posets). Galois connections find applications in various mathematical theories. They generalize the fundamental theorem of Galois theory about the correspondence between subgroups and subfields, discovered by the French mathematician Évariste Galois. A Galois connection can also be defined on preordered sets or classes; this article presents the common case of posets. The literature contains two closely related notions of "Galois connection". In this article, we will refer to them as (monotone) Galois connections and antitone Galois connections. A Galois connection is rather weak compared to an order isomorphism between the involved posets, but every Galois connection gives rise to an isomorphism of certain sub posets, as will be explained below. The term Galois correspondence is sometimes used to mean a bijective Galois connection; this is simply an order isomorphism (or dual order isomorphism, depending on whether we take monotone or antitone Galois connections).
Жағымсыз сөздер
Функциялар жұбының және бір-бірінің кері функциялары (тривиалды) Галуа байланысын құрайды, мынадай: Теңдік қатынасы рефлексивті, транзитивті және антисимметриялық болғандықтан, ол тривиалды түрде ішінара реттелген болып табылады, соның нәтижесінде және ішінара реттелген жиынтықтарға айналады. Егер және ғана егер болса, онда бізде Галуа байланысы бар.
Қуаттылық жиынтығы; әсері мен байланысы
Рет теориясының мысалы ретінде, U кез келген жиын болсын, ал A және B екеуі де U жиынының қуаты жиынтығы болсын, кіріктіру арқылы реттелген. U жиынының белгілі бір ішкі жиыны L-ді таңдаңыз. Содан кейін, F және G функциялары, мұндағы және , F төменгі байланыс болатын монотонды Галуа байланысын құрайды. Кез келген Хейтинг алгебрасында meet (инфимум) операциясымен берілген төменгі байланысы бар ұқсас Галуа байланысын табуға болады. Атап айтқанда, ол кез келген Буль алгебрасында кездеседі, онда екі функцияны мыналар арқылы сипаттауға болады: және. Логикалық тұрғыдан алғанда: "a-дан туындайтын" – "a-мен конъюнкцияның" жоғарғы байланысы.
Жатырлар
Галуа байланыстарының тағы да қызықты мысалдары толықтық қасиеттері туралы мақалада сипатталған. Шамамен айтқанда, әдеттегі ∨ және ∧ функциялары X → X × X диагональдық бейнесінің төменгі және жоғарғы серіктес функциялары болып табылады. Ішінара реттіліктегі ең кіші және ең үлкен элементтер бірегей функция X → {1} -ге төменгі және жоғарғы серіктес функциялар арқылы беріледі. Одан әрі, тіпті толық торлар да тиісті серіктес функциялардың болуымен сипатталуы мүмкін. Бұл ойлар реттік теориядағы Галуа байланыстарының кең таралғандығын көрсетеді.
Сурет және кері сурет
Егер f: X → Y функциясы болса, онда X-тің кез келген M қосалқы жиыны үшін біз суретті, ал Y-тің кез келген N қосалқы жиыны үшін кері суретті құрай аламыз. Содан кейін F және G X-тің қуат жиыны мен Y-тің қуат жиыны арасындағы монотонды Галуа байланысын құрайды, екеуі де кірігу арқылы реттелген (⊆). Бұл жағдайда тағы бір қосымша жұп бар: X-тің M қосалқы жиыны үшін, анықтаңыз. Содан кейін G және H Y және X қуат жиындары арасындағы монотонды Галуа байланысын құрайды. Бірінші Галуа байланысында G жоғарғы адъюнкт, ал екінші Галуа байланысында төменгі адъюнкт болып табылады. Алгебралық объектілер арасындағы (мысалы, топтар) бөлу картасы жағдайында бұл байланыс тор теоремасы деп аталады: G-дің кіші топтары G/N-нің кіші топтарымен байланысады, ал G-дің кіші топтарының жабылу операторы болып табылады.
Шал және жабылу
Негізгі жиынтығы бар X математикалық объектісін таңдаңыз, мысалы, топ, сақина, векторлық кеңістік және т.б. X-тің кез келген S ішкі жиыны үшін, F(S) – S-ні қамтитын X-тің ең кіші субобъектісі, яғни S-тен туындаған субтоп, субсақина немесе субкеңістік болсын. X-тің кез келген U субобъектісі үшін, G(U) – U-дың негізгі жиынтығы болсын. (X-ті топологиялық кеңістік ретінде де қарастыруға болады, онда F(S) – S-тің жабылуы, ал X-тің жабық ішкі жиынтықтарын "X-тің субобъектілері" деп аламыз.) Енді F және G, егер екеуі де кіріктіру бойынша реттелген болса, X-тің ішкі жиындары мен X-тің субобъектілері арасындағы монотонды Галуа байланысын құрайды. F – төменгі қосымша.
Синтаксис және семантика
Уильям Лоувирдің өте жалпы пікірі бойынша, синтаксис пен семантика қосалқы болып табылады: А-ны күші бойынша кері реттелген барлық логикалық теориялардың (аксиоматизациялардың) жиыны, ал В-ны барлық математикалық құрылымдар жиынының қуаты жиыны деп есептейік. T ∈ A теориясы үшін, Mod(T) – T аксиомаларын қанағаттандыратын барлық құрылымдар жиыны болсын; ал математикалық құрылымдар жиыны S ∈ B үшін, Th(S) – S-ге жақындататын аксиоматизациялардың ең кішісі болсын (бірінші реттік логикада бұл S-дегі барлық құрылымдарда шын болатын тұжырымдар жиыны). Онда S, Mod(T) жиынының ішкі жиыны болады, егер және тек қана Th(S) логикалық тұрғыдан T-ны қамтитын болса: «семантикалық функтор» Mod және «синтаксистік функтор» Th монотонды Галуа байланысын құрайды, мұнда семантика – жоғарғы қосалқы функтор болып табылады.
Галуа теориясы
Мотивациялық мысал Галуа теориясынан алынған: L/K өріс кеңейтілгендігін қарастырайық. A – K-ны қамтитын L-дің барлық қосалқы өрістерінің жиынтығы, қосу арқылы реттелген. Егер E осындай қосалқы өріс болса, онда E-ді өзгеріссіз қалдыратын L өріс автоморфизмдерінің тобын Gal(L/E) деп жазыңыз. B – Gal(L/K) тобының қосу арқылы реттелген кіші топтарының жиынтығы. Мұндай G кіші тобы үшін Fix(G) – G-нің барлық элементтерімен өзгеріссіз қалдырылатын L-дің барлық элементтерінен тұратын өріс деп анықталады. Онда берілген функциялар антитонды Галуа байланысын құрайды.
Алгебралық топология: кеңістіктерді қамтиды
Аналогты түрде, жолмен байланысты топологиялық кеңістік X берілген жағдайда, негізгі топтың π1(X) кіші топтары мен X кеңістігін жабатын жолмен байланысты жабатын кеңістіктер арасында антитонды Галуа байланысы бар. Атап айтқанда, егер X жартылай жергілікті түрде жай байланысқан болса, онда π1(X) кіші тобының әр G үшін, G негізгі тобы болатын жабатын кеңістік болады.
Сызықтық алгебра: аннигиляторлар мен ортогональды комплементтер
Ішкі өнім кеңістігі V болған жағдайда, V-нің кез келген X кіші кеңістігі үшін F(X) ортогональді толықтыруын құруға болады. Бұл, кіші кеңістіктер жиыны мен V өзінің арасындағы қосу бойынша реттелген антитонды Галуа байланысын тудырады, мұнда екі полярлық F-ке тең.
V векторлық кеңістігі және V-нің X кіші жиыны берілгенде, оның аннигиляторын F(X) деп анықтауға болады, ол X-те нөлге тең болатын V-нің қос кеңістігі V* барлық элементтерінен тұрады. Сол сияқты, V* кіші жиыны Y берілгенде, оның аннигиляторын анықтаймыз. Бұл V кіші жиынтықтары мен V* кіші жиынтықтары арасындағы антитонды Галуа байланысын береді.
Алгебралық геометрия
Алгебралық геометрияда көпмүшелер жиыны мен олардың нөлдік жиындары арасындағы қатынас антитонды Галуа байланысы болып табылады. Табиғи n және K өрісін бекітіп, A жиынын K[X1, …, Xn] көпмүшелік сақинасының кіші жиындарының жиыны ретінде, ал B жиынын K^n жиынының кіші жиындарының жиыны ретінде, кіші жиынға қатысты реттелінген түрінде қарастырайық. Егер S көпмүшелер жиыны болса, нөлдердің әртүрлілігін S жиынындағы көпмүшелердің ортақ нөлдерінің жиыны ретінде анықтаймыз. Егер U – K^n жиынының кіші жиыны болса, I(U) – U-да жоғалатын көпмүшелердің идеалы ретінде анықтаймыз, яғни
the set of common zeros of the polynomials in S. If U is a subset of K^( n), define I(U ) as the ideal of polynomials vanishing on U, that is
Then V and I form an antitone Galois connection. The closure on K^( n) is the closure in the Zariski topology, and if the field K is algebraically closed, then the closure on the polynomial ring is the radical of ideal generated by S.
More generally, given a commutative ring R (not necessarily a polynomial ring), there is an antitone Galois connection between radical ideals in the ring and Zariski closed subsets of the affine variety [[Spectrum of a ring. More generally, there is an antitone Galois connection between ideals in the ring and subschemes of the corresponding affine variety.
Содан кейін V және I антитонды Галуа байланысын құрайды. K^n жиынындағы жабылу Зариски топологиясындағы жабылу болып табылады, ал егер K өрісі алгебралық жабық болса, онда көпмүшелік сақинадағы жабылу S жиынымен туындаған идеалдың радикалы болып табылады.
the set of common zeros of the polynomials in S. If U is a subset of K^( n), define I(U ) as the ideal of polynomials vanishing on U, that is
Then V and I form an antitone Galois connection. The closure on K^( n) is the closure in the Zariski topology, and if the field K is algebraically closed, then the closure on the polynomial ring is the radical of ideal generated by S.
More generally, given a commutative ring R (not necessarily a polynomial ring), there is an antitone Galois connection between radical ideals in the ring and Zariski closed subsets of the affine variety [[Spectrum of a ring. More generally, there is an antitone Galois connection between ideals in the ring and subschemes of the corresponding affine variety.
Көбірек жалпылай келсек, R коммутативті сақинасы берілгенде (қажетті түрде көпмүшелік сақина емес), сақинадағы радикал идеалдар мен аффиндік кеңістіктің Зариски жабық кіші жиындары арасында антитонды Галуа байланысы бар. Әрі жалпылай келсек, сақинадағы идеалдар мен тиісті аффиндік кеңістіктің кіші схемалары арасында антитонды Галуа байланысы бар.
the set of common zeros of the polynomials in S. If U is a subset of K^( n), define I(U ) as the ideal of polynomials vanishing on U, that is
Then V and I form an antitone Galois connection. The closure on K^( n) is the closure in the Zariski topology, and if the field K is algebraically closed, then the closure on the polynomial ring is the radical of ideal generated by S.
More generally, given a commutative ring R (not necessarily a polynomial ring), there is an antitone Galois connection between radical ideals in the ring and Zariski closed subsets of the affine variety [[Spectrum of a ring. More generally, there is an antitone Galois connection between ideals in the ring and subschemes of the corresponding affine variety.
Бинарлық қатынастардан туындайтын қуаттар жиынтықтарындағы байланыстар
X және Y кездейсоқ жиынтықтар болсын, ал R – X және Y арасындағы екілік қатынас берілген. X-тің кез келген M ішкі жиыны үшін, біз осыған ұқсас, Y-тің кез келген N ішкі жиыны үшін анықтаймыз. Содан кейін F және G, X және Y жиындарының қуат жиындары арасындағы антитонды Галуа байланысын құрайды, олардың екеуі де кіріктіру ⊆ арқылы реттелген. Изоморфизмге дейін, қуат жиындары арасындағы барлық антитонды Галуа байланыстары осылай туындайды. Бұл "Концепциялық торлар туралы негізгі теоремадан" шығады. Бинарлық қатынастардан туындайтын Галуа байланыстарының теориясы және қолданылуы формалды тұжырымдамалық талдауда зерттеледі. Бұл сала математикалық деректерді талдау үшін Галуа байланыстарын қолданады. Галуа байланыстарының көптеген алгоритмдерін тиісті әдебиеттерде табуға болады, мысалы, . Жалпы ұғым торы өзінің бастапқы нұсқасында монотоналық және антитонды Галуа байланыстарын біріктіреді, осылайша ұғым торы түйіндерінің жоғарғы және төменгі шектерін сәйкесінше анықтайды.
Жабылу операторлары мен Galois қосылыстары
Жоғарыда келтірілген нәтижелерді мынадай түрде қорытындылауға болады: Галуа байланысы үшін құрама f∗∘f^(∗) монотонды (монотонды функциялардың құрамасы), инфляциялық және идемпотентті болады. Бұл f∗∘f^(∗) шын мәнінде А-да жабылу операторы екенін көрсетеді. Дуальді түрде, f^(∗)∘f∗ монотонды, дефляциялық және идемпотентті. Мұндай бейнелеулер кейде ядролық операторлар деп аталады. Фреймдер мен локальдер контекстінде f∗∘f^(∗) құрамасы f тудырған ядро деп аталады. Ядролар фрейм гомоморфизмдерін тудырады; егер локальдің кіші жиынтығы ядро арқылы берілсе, онда ол сублокаль деп аталады. Керісінше, кез келген жабылу операторы c белгілі бір A позитінде төменгі жапсарлас f^(∗) болатын Галуа байланысын тудырады, ол c-нің c(A) бейнесіне ғана корестрикциясы болып табылады (яғни, жабылу жүйесі c(A) сюръективті бейнелеу ретінде). Жоғары жапсарлас f∗ c(A)-ны A-ға қосу арқылы беріледі, ол әр жабық элементті өзіне сәйкестендіреді, ол A элементі ретінде қарастырылады. Осылайша, жабылу операторлары мен Галуа байланыстары бір-бірімен тығыз байланысты болып көрінеді, әрқайсысы екіншісінің бір түрін көрсетеді. Осыған ұқсас қорытындылар ядролық операторларға да қатысты. Жоғарыда айтылған ойлар сондай-ақ А-ның жабық элементтері (x элементтерімен) ядролық оператор f^(∗)∘f∗ диапазонындағы элементтерге бейнеленетінін және керісінше екенін көрсетеді.
Галуа байланыстарының бар болуы және бірегейлігі
Галуа байланыстарының тағы бір маңызды қасиеті – төменгі адъюнкттер өздерінің доменіндегі барлық жоғарғы шектерді сақтайды. Двойлі, жоғарғы адъюнкттер барлық төменгі шектерді сақтайды. Осы қасиеттерден адъюнкттердің монотондығын бірден қорытындылауға болады. Рет теориясы бойынша қосымша функтор теоремасы, кері тұжырым да белгілі бір жағдайларда дұрыс екенін көрсетеді: атап айтқанда, толық торлар арасындағы барлық жоғарғы шектерді сақтайтын кез келген бейнелеу Галуа байланысының төменгі адъюнкті болып табылады. Мұндай жағдайда, Галуа байланыстарының маңызды ерекшелігі – бір адъюнкт екіншісін бірегей түрде анықтайды. Сондықтан, жоғарыда айтылғандарды күшейтіп, толық торлар арасындағы кез келген жоғарғы шектерді сақтайтын бейнелеудің бірегей Галуа байланысының төменгі адъюнкті екендігіне кепілдік беруге болады. Бұл бірегейлікті алуға мүмкіндік беретін негізгі қасиет мынадай: A-дағы кез келген x үшін, f*(x) – B-дегі ең кіші y элементі, мұнда x ≤ f(y). Двойлі, B-дегі кез келген y үшін, f(y) – A-дағы ең үлкен x элементі, мұнда f*(x) ≤ y. Галуа байланысының болуы тиісті ең кіші немесе ең үлкен элементтердің болуын білдіреді, сәйкес келетін жиындар толықтығының қасиеттерін қанағаттандырсын немесе қанағаттандырмасын. Осылайша, Галуа байланысының бір жоғарғы адъюнкті берілген жағдайда, екінші жоғарғы адъюнкті осы қасиет арқылы анықтауға болады. Екінші жағынан, кейбір монотонды f функциясы төменгі адъюнкт болып табылады, егер және тек қана B-дегі b-ға сәйкес келетін әрбір жиынның ең үлкен элементі болса. Бұл қасиет жоғарғы адъюнкт үшін де қолданылады.
Галлуа байланыстары морфизмдер ретінде
Галуа байланыстары позиеттер арасындағы карталардың қызықты класын ұсынады, оларды позиеттер категорияларын алу үшін қолдануға болады. Әсіресе, Галуа байланыстарын біріктіруге болады: егер А және В позиеттері арасында (f∗, f^(∗)) және В және С арасында (g∗, g^(∗)) Галуа байланыстары берілсе, онда (g^(∗) ∘ f^(∗), f∗ ∘ g∗) біріктірілген байланысы да Галуа байланысы болады. Толық торлардың категорияларын қарастырғанда, бұл барлық жоғарғы шектерді (немесе, балама ретінде, төменгі шектерді) сақтайтын карталарды қарастыруға дейін жеңілдетуге болады. Толық торларды олардың дуалдарына бейнелеу арқылы, бұл категориялар автодуальность көрсетеді, бұл басқа дуалдық теоремаларын алу үшін өте маңызды. Басқа бағыттағы қосымша бейнелеулерді тудыратын морфизмдердің арнайы түрлері әдетте фреймдер (немесе локальдер) үшін қарастырылатын морфизмдер болып табылады.
Категориялар теориясына байланысты
Кез келген ішінара реттелген жиынтықты табиғи түрде категория ретінде қарастыруға болады: x ≤ y болған жағдайда ғана x-тен y-ге бірегей морфизм бар. Монотонды Галуа байланысы – екі категория арасындағы, ішінара реттелген жиынтықтардан туындаған, қосақтас функторлардың жұбынан басқа ештеңе емес. Мұндай жағдайда жоғарғы қосақтас – оң қосақтас, ал төменгі қосақтас – сол қосақтас болып табылады. Дегенмен, бұл терминология Галуа байланыстары үшін қолданылмайды, себебі бұрынғыда ішінара реттелген жиынтықтар (посеттер) морфизмдердің бағыты кері болған жағдайда, категорияға басқаша түрлендірілген. Бұл сол және оң қосақтастарға қатысты қосымша белгі пайда болуына әкелді, ол қазіргі таңда екіұшты.
Бағдарламалау теориясының қолданылуы
Галуа байланыстары бағдарламалау тілдерінің абстрактты интерпретациясы теориясындағы абстракцияның көптеген түрлерін сипаттауға қолданылуы мүмкін.