Кіріспе
Кейбір механикалық мәселелерді шешу әдісі Классикалық механикада қимыл бұрышы айнымалылары - интеграцияланатын жүйелердегі ауыспалы ағымдардың сипатын сипаттауда пайдалы каноникалық координаттар жиынтығы, егер энергия сақталатын деңгей жиынтығы компактты болса және ауыспалы ағымдар толық болса. Күш бұрышындағы айнымалылар қозғалыс теңдеулерін шешпей-ақ тербеліс немесе айналыс қозғалысының жиілігін алуда маңызды. Олар динамиканың негізгі сипаттамасын қамтамасыз ете отырып, жүйе толықтай интеграцияланатын кезде ғана болады, яғни тәуелсіз Пуассонның ауыспалы инварианттарының саны максималды және сақталған энергия беткі қымбат. Бұл Гамильтон-Джакоби теңдеуі толық ажыратылатын және бөліну константаларын фазалық кеңістіктегі функциялар ретінде шешуге болатын кезде, әдетте, практикалық есептеу құндылығы бар. Әрекеттік бұрыш айнымалылары лагранждық инвариант Тори арқылы жапырақты анықтауға мүмкіндік береді, өйткені Пойсонның коммутациялық инварианттарымен индуцирленген ағымдар олардың бірлескен деңгейлер жиынтығында қалады, ал энергия деңгейі жиынтығының тығыздығы олар Тори екенін білдіреді. Бұрыш айнымалылары жапырақтағы координаттарды береді, онда жолаушылар ағыны сызықтық болып табылады. Классикалық гамильтондық жүйелер мен олардың Шредингер толқын механикасы әдісіндегі квантталуы арасындағы байланыс, Шредингер теңдеуінің WKB асимптотикалық тізбесіндегі жетекші реттік термин ретінде Гамильтон-Джакоби теңдеуін қарау арқылы анық көрінеді. Интегралдық жүйелер жағдайында, Бохр-Соммерфельд кванттау шарттары алғаш рет кванттық механика пайда болғанға дейін сутек атомының спектрін есептеу үшін қолданылған. Олар әрекет бұрышы айнымалыларының болуын және олардың Планк тұрақтысының толық сан көбейтінділері болуын талап етеді. Эйнштейннің ЭБК кванттауындағы интеграцияланбайтын жүйелерді кванттаудың қиындықтары туралы түсінігі осы фактіге негізделген. Әрекеттік бұрыш координаттары, сондай-ақ, Гамильтон механикасының бұзылу теориясында, әсіресе, адиабатикалық инварианттарды анықтау кезінде пайдалы. Шау-шу теориясының алғашқы нәтижелерінің бірі, кішігірім бұзылулар кезінде интеграцияланатын динамикалық жүйелердің динамикалық тұрақтылығы үшін, KAM теоремасы, онда инвариант торилердің ішінара тұрақты екендігі айтылған. Интегралдық жүйелердің қазіргі заманғы теориясында Тода торларын шешуде, Лакс жұптарын анықтауда немесе жалпы алғанда, интегралдық динамиканы сипаттайтын сызықтық оператордың изоспектрлік эволюциясында және Гамильтон формуласындағы әрекет бұрышы айнымалылары ретінде байланысты спектрлік деректерді түсіндіруде қолданылды.
In classical mechanics, action angle variables are a set of canonical coordinates that are useful in characterizing the nature of commuting flows in integrable systems when the conserved energy level set is compact, and the commuting flows are complete. Action angle variables are also important in obtaining the frequencies of oscillatory or rotational motion without solving the equations of motion. They only exist, providing a key characterization of the dynamics, when the system is completely integrable, i. e., the number of independent Poisson commuting invariants is maximal and the conserved energy surface is compact. This is usually of practical calculational value when the Hamilton–Jacobi equation is completely separable, and the separation constants can be solved for, as functions on the phase space. Action angle variables define a foliation by invariant Lagrangian tori because the flows induced by the Poisson commuting invariants remain within their joint level sets, while the compactness of the energy level set implies they are tori. The angle variables provide coordinates on the leaves in which the commuting flows are linear. The connection between classical Hamiltonian systems and their quantization in the Schrödinger wave mechanics approach is made clear by viewing the Hamilton–Jacobi equation as the leading order term in the WKB asymptotic series for the Schrodinger equation. In the case of integrable systems, the Bohr–Sommerfeld quantization conditions were first used,
before the advent of quantum mechanics, to compute the spectrum of the hydrogen atom. They require that the action angle variables exist, and that they be integer multiples of the reduced Planck constant. Einstein's insight in the EBK quantization into the difficulty of quantizing non integrable systems was based on this fact. Action angle coordinates are also useful in perturbation theory of Hamiltonian mechanics, especially in determining adiabatic invariants. One of the earliest results from chaos theory, for dynamical stability of integrable dynamical systems under small perturbations, is the KAM theorem, which states that the invariant tori are partially stable. In the modern theory of integrable systems action angle variables were used in the solution of the Toda lattice, the definition of Lax pairs, or more generally, isospectral evolution of a linear operator characterizing integrable dynamics, and interpreting the associated spectral data as action angle variables in the Hamiltonian formulation.
Өршілу
Кейбір жағдайларда екі түрлі жалпыланған координаттардың жиіліктері бірдей болады, яғни, мұндай жағдайларда қозғалыс дегенге айналады. Дегенеративті қозғалыс қосымша жалпы сақталған шамалар бар екендігін көрсетеді; мысалы, Кеплер проблемасының жиіліктері дегенеративті, Лаплас Рунге Ленц векторының сақталуына сәйкес келеді. Дегенеративті қозғалыс сонымен қатар Гамильтон-Джакоби теңдеулері бірден көп координаталар жүйесінде толық ажыратылатындығын көрсетеді; мысалы, Кеплер проблемасы сфералық координаталар мен параболалық координаталарда толық ажыратылатын.