Введение
Метод решения некоторых механических задач В классической механике переменные угла действия представляют собой набор канонических координат, которые полезны для характеристики природы коммутационных потоков в интегральных системах, когда набор уровней сохраненной энергии компактен, а коммутационные потоки полны. Изменные угла действия также важны для получения частот колебательного или вращательного движения без решения уравнений движения. Они существуют только, обеспечивая ключевую характеристику динамики, когда система полностью интегрируема, т. е. число независимых инвариантов Пуссона максимально, а поверхность сохраненной энергии компактна. Это обычно имеет практическое значение для расчетов, когда уравнение Гамильтона и Джейкоби полностью разделяется, а константы разделения могут быть решены как функции на фазовом пространстве. Изменные угла действия определяют листья инвариантным лагранжианским тори, потому что потоки, индуцированные коммутирующими инвариантами Пуассона, остаются в пределах их совместных наборов уровней, в то время как компактность набора энергетических уровней подразумевает, что они являются тори. Изменные угла обеспечивают координаты на листьях, в которых потоки коммутации являются линейными. Связь между классическими гамильтоновыми системами и их квантованием в подходе волновой механики Шредингера становится ясной, рассматривая уравнение ГамильтонаДжакоби как ведущий термин порядка в асимптотическом ряду WKB для уравнения Шредингера. В случае интегральных систем условия квантования Бора-Соммерфельда впервые были использованы до появления квантовой механики для вычисления спектра атома водорода. Они требуют, чтобы переменные угла действия существовали и чтобы они были целочисленными кратными уменьшенной постоянной Планка. Взгляд Эйнштейна в квантование EBK на трудности квантования неинтегральных систем был основан на этом факте. Координаты угла действия также полезны в теории возмущений гамильтоновской механики, особенно при определении адиабатических инвариантов. Одним из самых ранних результатов теории хаоса, для динамической стабильности интегрируемых динамических систем при малых возмущениях, является теорема КАМ, которая гласит, что инвариантные тори частично стабильны. В современной теории интегральных систем переменные угла действия использовались в решении решетки Тода, определении пар Лакса или, более обще, изоспектральной эволюции линейного оператора, характеризующего интегральную динамику, и интерпретации связанных спектральных данных как переменных угла действия в гамильтоновской формулировке.
In classical mechanics, action angle variables are a set of canonical coordinates that are useful in characterizing the nature of commuting flows in integrable systems when the conserved energy level set is compact, and the commuting flows are complete. Action angle variables are also important in obtaining the frequencies of oscillatory or rotational motion without solving the equations of motion. They only exist, providing a key characterization of the dynamics, when the system is completely integrable, i. e., the number of independent Poisson commuting invariants is maximal and the conserved energy surface is compact. This is usually of practical calculational value when the Hamilton–Jacobi equation is completely separable, and the separation constants can be solved for, as functions on the phase space. Action angle variables define a foliation by invariant Lagrangian tori because the flows induced by the Poisson commuting invariants remain within their joint level sets, while the compactness of the energy level set implies they are tori. The angle variables provide coordinates on the leaves in which the commuting flows are linear. The connection between classical Hamiltonian systems and their quantization in the Schrödinger wave mechanics approach is made clear by viewing the Hamilton–Jacobi equation as the leading order term in the WKB asymptotic series for the Schrodinger equation. In the case of integrable systems, the Bohr–Sommerfeld quantization conditions were first used,
before the advent of quantum mechanics, to compute the spectrum of the hydrogen atom. They require that the action angle variables exist, and that they be integer multiples of the reduced Planck constant. Einstein's insight in the EBK quantization into the difficulty of quantizing non integrable systems was based on this fact. Action angle coordinates are also useful in perturbation theory of Hamiltonian mechanics, especially in determining adiabatic invariants. One of the earliest results from chaos theory, for dynamical stability of integrable dynamical systems under small perturbations, is the KAM theorem, which states that the invariant tori are partially stable. In the modern theory of integrable systems action angle variables were used in the solution of the Toda lattice, the definition of Lax pairs, or more generally, isospectral evolution of a linear operator characterizing integrable dynamics, and interpreting the associated spectral data as action angle variables in the Hamiltonian formulation.
Дегенерация
В некоторых случаях частоты двух различных обобщенных координат идентичны, т.е. в таких случаях движение называется дегенеративным. Дегенеративное движение сигнализирует о том, что существуют дополнительные общесохраняемые величины; например, частоты задачи Кеплера являются дегенеративными, что соответствует сохранению вектора ЛапласаРунгеЛенца. Дегенеративное движение также сигнализирует о том, что уравнения Гамильтона и Якоби полностью разделяемы в более чем одной системе координат; например, проблема Кеплера полностью разделяется как в сферических, так и в параболических координатах.