Кіріспе
Математикалық логикада анықталатын жиын - элементтері бірінші реттік тілде қандай да бір формулаға сәйкес келетін құрылымның доменіндегі сандық қатынас. Жинақты параметрлермен немесе оларсыз анықтауға болады, олар қатынасты анықтайтын формулада сілтеме жасалатын доменнің элементтері болып табылады.
Натурал сандар және олардың арифметикалық операциялары
Натурал сандар мен олардың әдеттегі арифметикалық операциялары мен реттік қатынастарынан тұратын бірінші реттік құрылым болсын. Бұл құрылымда анықталатын жиынтықтар арифметикалық жиынтықтар деп аталады және арифметикалық иерархияда жіктеледі. Егер құрылым бірінші реттік логиканың орнына екінші реттік логикада қарастырылса, алынған құрылымдағы табиғи сандардың анықталатын жиынтығы аналитикалық иерархияда жіктеледі. Бұл иерархиялар осы құрылымдағы анықталуы мен есептеу теориясы арасындағы көптеген қатынастарды ашады, сондай-ақ сипаттамалық жиынтық теориясында қызығушылық тудырады.
Нақты сандар өрісі
Нақты сандар өрісінен тұратын құрылым болсын. Әдеттегі реттеу қатынасы құрылысқа тікелей енгізілмегенімен, теріс емес нақты сандар жиынын анықтайтын формула бар, өйткені олар квадрат түбірлері бар жалғыз нақты сандар: Демек, кез келген теріс емес, егер және тек егер , нақты санның қосу терісін анықтайтын формуламен бірге , әдеттегі реттеуді анықтауға болады: үшін , жиынтық, егер және тек егер теріс болмаса. Үлкендетілген құрылым бастапқы құрылымның анықтамалы кеңейтілуі деп аталады. Оның бастапқы құрылыммен бірдей экспрессивті күші бар, егер ол бастапқы құрылыммен бірдей параметрлер жиынтығынан анықталса ғана, онда параметрлер жиынтығынан кеңейтілген құрылым бойынша анықталады. Квантификаторды жою теориясы. Осылайша анықталатын жиынтықтар - полиномиалдық теңдіктер мен теңсіздіктердің Бульдік комбинациялары; бұлар жартылай алгебралық жиынтықтар деп аталады. Нақты түзудің осы қасиетін жалпылау o минималдылығын зерттеуге әкеледі.
Thus any is nonnegative if and only if In conjunction with a formula that defines the additive inverse of a real number in , one can use to define the usual ordering in : for , set if and only if is nonnegative. The enlarged structure is called a definitional extension of the original structure. It has the same expressive power as the original structure, in the sense that a set is definable over the enlarged structure from a set of parameters if and only if it is definable over the original structure from that same set of parameters. The theory of has quantifier elimination. Thus the definable sets are Boolean combinations of solutions to polynomial equalities and inequalities; these are called semi algebraic sets. Generalizing this property of the real line leads to the study of o minimality.
Қосымша нәтижелер
Тарски-Вот сынағы берілген құрылымның элементтік субструктураларын сипаттау үшін қолданылады.