Кіріспе
Математикада, топ теориясы саласында, кластық автоморфизм - әрбір элементті өзінің конъюгациялық класына жіберетін топтың автоморфизмі. Сабақ автоморфизмдері автоморфизмдер тобының кіші тобын құрайды. Кейбір фактілер: Әрбір ішкі автоморфизм - бұл сынып автоморфизмі. Әр сынып автоморфизмі - отбасы автоморфизмі және үлестірілетін автоморфизм. Квозиент картасы бойынша сынып автоморфизмдері сынып автоморфизмдеріне ауысады. Әр сынып автоморфизмі - IA автоморфизмі, яғни ол абелиандастыруда сәйкестік ретінде әрекет етеді. Әрбір сынып автоморфизмі - орталықты бекітетін автоморфизм, яғни ол орталықтағы барлық нүктелерді бекітеді. Нормальды кіші топтар кластық автоморфизмдер бойынша инвариант кіші топтар ретінде сипатталады. Шексіз топтар үшін ішкі емес сынып автоморфизміне мысал: шекті симметриялық топты санауға болатын көптеген элементтерде алыңыз және шексіз пермутация арқылы конъюгацияны қарастырыңыз. Бұл конъюгация шекті пермутациялар тобындағы сыртқы автоморфизмді анықтайды. Алайда, кез келген белгілі бір шекті пермутация үшін біз конъюгациясы осы шексіз пермутациямен бірдей әсер ететін шекті пермутация таба аламыз. Бұл негізінен шексіз пермутация шекті тіректердің пермутациясын шекті тіректердің пермутациясына алмастыратынынан. Шекті топтар үшін классикалық мысал - 8 элементтегі циклдік сақинаның жартылай тура көбейтіндісі ретінде көбейту арқылы әрекет ететін бірліктер тобы арқылы алынған 32-реттік топ. Тұрақтылық тобындағы ішкі емес сынып автоморфизмін табу жергілікті деңгейдегі шекаралық, бірақ жаһандық шекаралық емес әрекет үшін коцикл табуға дейін жетеді.
Every inner automorphism is a class automorphism. Every class automorphism is a family automorphism and a quotientable automorphism. Under a quotient map, class automorphisms go to class automorphisms. Every class automorphism is an IA automorphism, that is, it acts as identity on the abelianization. Every class automorphism is a center fixing automorphism, that is, it fixes all points in the center. Normal subgroups are characterized as subgroups invariant under class automorphisms. For infinite groups, an example of a class automorphism that is not inner is the following: take the finitary symmetric group on countably many elements and consider conjugation by an infinitary permutation. This conjugation defines an outer automorphism on the group of finitary permutations. However, for any specific finitary permutation, we can find a finitary permutation whose conjugation has the same effect as this infinitary permutation. This is essentially because the infinitary permutation takes permutations of finite supports to permutations of finite support. For finite groups, the classical example is a group of order 32 obtained as the semidirect product of the cyclic ring on 8 elements, by its group of units acting via multiplication. Finding a class automorphism in the stability group that is not inner boils down to finding a cocycle for the action that is locally a coboundary but is not a global coboundary.