Кіріспе
Сандық сызықтық алгебрада Якоби айналуы - n өлшемді ішкі өнім кеңістігінің 2 өлшемді сызықтық қосалқы кеңістігінің Qkl айналуы. Бұл n × n нақты симметриялық матрицаның симметриялық жұп диагональді еншілерін нөлге теңдеу үшін таңдалған, А, ұқсастық түрлендіру ретінде қолданылғанда: Бұл Якоби өзіндік құндылық алгоритміндегі негізгі операция, ол сандық жағынан тұрақты және параллель процессорларда іске асыруға жақсы сәйкес келеді. Тек k және l қатарлары мен k және l бағаналары ғана әсер етеді, ал A симметриялық болып қала береді. Сонымен қатар, Qkl үшін нақты матрица сирек есептеледі; оның орнына көмекші мәндер есептеледі және A тиімді және сандық тұрақты түрде жаңартылады. Алайда, анықтама үшін матрицаны былай жазуға болады: яғни, Qkl - төрт жазудан басқа сәйкестік матрица, екеуі диагональда (qkk және qll, екеуі де c-ге тең) және екеуі диагональдан симметриялы орналастырылған (qkl және qlk, сәйкесінше s және -s-ге тең). Мұнда c = cos θ және s = sin θ қандай да бір бұрыш үшін θ; бірақ айналуды қолдану үшін бұрыштың өзі қажет емес. Кронэкер дельта белгісін пайдаланып, матрицалық жазуларды былай жазуға болады: h k немесе l-ден басқа индекс болып табылады деп болжам жасаңыз (олар өздері бөлек болуы керек). Содан кейін ұқсастық жаңарту алгебралық түрде:
It is the core operation in the Jacobi eigenvalue algorithm, which is numerically stable and well suited to implementation on parallel processors
Only rows k and ℓ and columns k and ℓ of A will be affected, and that A will remain symmetric. Also, an explicit matrix for Qkℓ is rarely computed; instead, auxiliary values are computed and A is updated in an efficient and numerically stable way. However, for reference, we may write the matrix as
That is, Qkℓ is an identity matrix except for four entries, two on the diagonal (qkk and qℓℓ, both equal to c) and two symmetrically placed off the diagonal (qkℓ and qℓk, equal to s and −s, respectively). Here c = cos θ and s = sin θ for some angle θ; but to apply the rotation, the angle itself is not required. Using Kronecker delta notation, the matrix entries can be written:
Suppose h is an index other than k or ℓ (which must themselves be distinct). Then the similarity update produces, algebraically:
Үшбұрышты мысал
Кейбір қолданбалар ұқсас матрицадағы бірнеше нөлді жазуды қажет етуі мүмкін, мүмкін тридиагональды матрица түрінде. Якобтық айналулар бұрын нөлге теңелген басқа ұяшықтардан нөлдерді алып тастауы мүмкін болғандықтан, әдетте, орташа және үлкен матрицада әр тридиагональді ұяшықты жеке-жеке нөлге теңеу арқылы тридиагонализацияға қол жеткізу мүмкін емес. Алайда, егер Якобиан айналымдары жоғарыда көрсетілген ең жоғары абсолюттік мәні бар үшбұрышты ұяшықта бірнеше рет жүргізілсе, онда төменгі немесе сол жақтағы көрші ұяшықты айналдыру үшін пайдаланса, онда барлық үшбұрышты ұяшықтар бірнеше қайталаудан кейін нөлге түседі деп күтіледі. Төмендегі мысалда 5X5 матрицасы ұқсас матрицаға тридиагонализацияланады. Матрицаны матрицаға тридиагонализациялау үшін [1,3], [1,4], [1,5], [2,4], [2,5] және [3,5] тридиагональды ұяшықтары, осы ұяшықтардағы ең жоғары абсолюттік мән қолайлы конвергенция шегінен төмен болғанға дейін қайталана отырып нөлге ауыстырылуы керек. Бұл мысал 1. e 14-ті қолданады. Диагональ астындағы ұяшықтар матрицаның симметриялық сипатына байланысты автоматты түрде нөлге ауыстырылады. Бірінші Якобиан айналуы ең жоғары абсолюттік мәні бар үшбұрышты ұяшықта болады, ол тексеру бойынша [1,4] 11 мәнімен. Бұл жазуды нөлге айналдыру үшін жоғарыда келтірілген теңдеулерде көрсетілген шартты нөлге айналдырылатын ұяшықтың координаттары және таңдалған айналу координаттары үшін орындауға тиіс және олар бірінші қайталану үшін төменде қайталанады. Бірінші айналу итерациясы , күткендей, [1,4] және [4,1] ұяшықтары бар матрицаны шығарады. Бұдан басқа, eigenvalue және determinant of және T1 тең тең, Якоб айналуының дұрыс орындалғанын растайды. Келесі қайталау үшін барлық ұяшықтардан ең жоғары абсолютті мәнді, 4.8001142 құрайтын ұяшықты таңдайды. Жакобиан айналымдарын қолдана отырып, ұяшықты ең жоғары абсолютті мәнмен нөлге айналдырудың 10 қайталауынан кейін, оның астындағы ұяшықтағы барлық тридиагональды ұяшықтардағы ең жоғары абсолютті мән 2,6e 15 болады. Бұл конвергенция критерийлері орындалатын қолданба үшін қолайлы түрде төмен деп есептегенде, ұқсас үшбұрышты матрица төменде көрсетілген. Себебі және тең өзіндік мәндері мен детерминанттары бар және сонымен қатар симметриялық, және тридиагональдалған ұқсас матрицалар.
To tridiagonalize matrix into matrix , the off tridiagonal cells [1,3], [1,4], [1,5], [2,4], [2,5], and [3,5], must continue to be iteratively zeroed until the maximum absolute value of those cells is below an acceptable convergence threshold. This example will use 1. e 14 The cells below the diagonal will be zeroed automatically, due to the symmetric nature of the matrix. The first Jacobian rotation will be on the off tridiagonal cell with the highest absolute value, which by inspection is [1,4] with a value of 11. To make this entry zero, the condition specified in the above equations must be met for the cell coordinates to be zeroed and for the selected rotational coordinates of , and are reproduced below for the first iteration. The first rotation iteration, , produces a matrix with cells [1,4] and [4,1] zeroed, as expected. Furthermore, the eigenvalues and determinant of are identical to those of and T1 is also symmetric, confirming that the Jacobian rotation was performed correctly. The next iteration for will select cell [2,5] which contains the highest absolute value, 4.8001142, of all the cells to be zeroed
After 10 iterations of zeroing the cell with the maximum absolute value using Jacobian rotations on the cell just below it, the maximum absolute value of all off tridiagonal cells is 2.6e 15. Assuming this convergence criteria is acceptably low for the application it is being performed for, the similar triangularized matrix is shown below. Since and have identical eigenvalues and determinants and is also symmetric, and are similar matrices with being tridiagonalized.